《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

设 $f(x)=x^{3}$，$g(x)=x$，计算 $[f(x)· g(x)]'$与 $f'(x)g'(x)$，它们是否相等？$\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$与 $\frac{f'(x)}{g'(x)}$是否相等？

答案： 因为$[f(x)g(x)]=(x^4)'=4x^3$，
$f'(x)g'(x)=3x^2·1=3x^2$，
$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=(x^2)'=2x$，
$\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{3x^2}{1}=3x^2$，
所以$[f(x)g(x)]'\neq f'(x)g'(x)$，
$[\frac{f(x)}{g(x)}]'\neq\frac{f'(x)}{g'(x)}$.

1. $[f(x)g(x)]'=$$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，特别地，$[cf(x)]'=$$cf'(x)$.

答案： 1.$f'(x)g(x)+f(x)g'(x) cf'(x)$

2. $\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'=$$\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}(g(x)\neq0)$.

答案： 2.$\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}(g(x)\neq0)$

求下列函数的导数：
(1) $y=x^{2}+x\ln x$；
(2) $y=\frac{\ln x}{x^{2}}$；
(3) $y=\frac{e^{x}}{x}$；
(4) $y=(2x^{2}-1)(3x + 1)$.
反思感悟：

答案： 解
(1)$y'=(x^2+x\ln x)'$
$=(x^2)'+(x\ln x)'$
$=2x+\ln x+x·\frac{1}{x}$
$=2x+\ln x+1$.
(2)$y'=(\frac{\ln x}{x^2})'=\frac{(\ln x)'· x^2-\ln x(x^2)'}{x^4}=\frac{\frac{1}{x}· x^2-2x\ln x}{x^4}=\frac{1-2\ln x}{x^3}$
(3)$y'=(\frac{e^x}{x})'=\frac{(e^x)'· x-e^x(x)'}{x^2}$
$=\frac{e^x· x-e^x}{x^2}$
(4)方法一 $y'=[(2x^2-1)(3x+1)]$
$=(2x^2-1)'·(3x+1)+(2x^2-1)(3x+1)'$
$=4x(3x+1)+(2x^2-1)×3$
$=12x^2+4x+6x^2-3$
$=18x^2+4x-3$.
方法二 因为$y=(2x^2-1)(3x+1)$
$=6x^3+2x^2-3x-1$，
所以$y'=(6x^3+2x^2-3x-1)'$
$=(6x^3)'+(2x^2)'-(3x)'-(1)'$
$=18x^2+4x-3$.

求下列函数的导数：
(1) $y=(x^{2}+1)(x - 1)$；
(2) $y=x^{2}+\tan x$；
(3) $y=\frac{e^{x}}{x + 1}$.

答案： 解
(1)因为$y=(x^2+1)·(x-1)=x^3-x^2+x-1$，
所以$y'=3x^2-2x+1$.
(2)因为$y=x^2+\frac{\sin x}{\cos x}$
所以$y'=(x^2)'+\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'$
$=2x+\frac{\cos^2x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2x}$
$=2x+\frac{1}{\cos^2x}$
(3)$y'=\frac{(e^x)'(x+1)-(x+1)'e^x}{(x+1)^2}$
$=\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2}=\frac{xe^x}{(x+1)^2}$

(1) 日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知 $1t$ 水净化到纯净度为 $x\%$ 时所需费用(单位：元)为 $c(x)=\frac{4000}{100 - x}(80\lt x\lt100)$. 那么净化到纯净度为 $90\%$ 时所需净化费用的瞬时变化率是(D)
A. $-40$ 元/t
B. $-10$ 元/t
C. $10$ 元/t
D. $40$ 元/t
(2) 曲线 $y=x\ln x$ 上的点到直线 $x - y - 2 = 0$ 的最短距离是(B)
A. $\sqrt{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $1$
D. $2$
反思感悟：

答案：
(1)D
(2)B