《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

等差数列前 $ n $ 项和 $ S_{n} = na_{1} + \frac{n(n - 1)}{2}d $ 是关于 $ n $ 的二次函数吗？它可以写成什么形式？

答案： 当$d = 0$时,$S_n$不是关于$n$的二次函数;当$d \neq 0$时,$S_n$是关于$n$的二次函数.$S_n = \frac{d}{2}n^2 + (a_1 - \frac{d}{2})n$.

若数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和 $ S_{n} = 2n^{2} - 3n $，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式，并判断数列$\{ a_{n}\}$是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.

答案： 解　当$n = 1$时,$a_1 = S_1 = - 1$;当$n \geq 2$时,$a_n = S_n - S_{n - 1} = 2n^2 - 3n - 2(n - 1)^2 + 3(n - 1) = 4n - 5$,
经检验，当$n = 1$时,$a_1 = - 1$满足上式，故$a_n = 4n - 5$.
数列$\{ a_n \}$是等差数列，证明如下:
因为$a_{n + 1} - a_n = 4(n + 1) - 5 - 4n + 5 = 4$,所以数列$\{ a_n \}$是等差数列.

延伸探究
若数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和 $ S_{n} = 2n^{2} - 3n - 1 $，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式，并判断数列$\{ a_{n}\}$是否是等差数列. 若是，请证明；若不是，请说明理由.
反思感悟：
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答案： 解　因为$S_n = 2n^2 - 3n - 1$,①当$n = 1$时,$a_1 = S_1 = 2 - 3 - 1 = - 2$;当$n \geq 2$时,$S_{n - 1} = 2(n - 1)^2 - 3(n - 1) - 1$,　②
① - ②得$a_n = S_n - S_{n - 1} = 2n^2 - 3n - 1 - [2(n - 1)^2 - 3(n - 1) - 1] = 4n - 5$,
经检验当$n = 1$时,$a_n = 4n - 5$不成立，故$a_n = \begin{cases} - 2,n = 1, \\ 4n - 5,n \geq 2. \end{cases}$
故数列$\{ a_n \}$不是等差数列,数列$\{ a_n \}$是从第二项起以4为公差的等差数列.

已知数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} = n^{2} + n - 1 $，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式，并判断它是不是等差数列.

答案： 解　当$n = 1$时，$a_1 = S_1 = 1$;
当$n \geq 2$时,$a_n = S_n - S_{n - 1} = (n^2 + n - 1) - [(n - 1)^2 + (n - 1) - 1] = 2n$.
又$a_1 = 1$不满足$a_n = 2n$,
所以数列$\{ a_n \}$的通项公式是$a_n = \begin{cases} 1,n = 1, \\ 2n,n \geq 2,n \in N^*. \end{cases}$
因为$a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3 \neq a_3 - a_2 = 2$,所以数列$\{ a_n \}$中前两项的差与第二、三项的差不是同一个常数,
所以$\{ a_n \}$不是等差数列，数列$\{ a_n \}$是从第二项起以2为公差的等差数列.

根据前面所学，等差数列的前 $ n $ 项和公式有什么样的函数特点？

答案： 由$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$,可知$S_n = \frac{d}{2}n^2 + (a_1 - \frac{d}{2})n$,当$d \neq 0$时,$S_n$是常数项为0的二次函数.该函数的定义域是$n \in N^*$,公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通常简记为$S_n = An^2 + Bn(A,B \in R)$.