《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

二、倒序相加法求和
例 2 已知函数$f(x)$对任意的$x\in \mathbf{R}$，都有$f(x)+f(1 - x)=1$，若数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n}=f(0)+f\left(\dfrac {1}{n}\right)+f\left(\dfrac {2}{n}\right)+·s +f\left(\dfrac {n - 1}{n}\right)+f(1)$，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.
反思感悟：

答案： 因为$f(x)+f(1-x)=1$，所以$f(\frac{1}{n})+f(\frac{n-1}{n})=1$．因为$a_{n}=f(0)+f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+·s+f(\frac{n-1}{n})+f(1)$， ①所以$a_{n}=f(1)+f(\frac{n-1}{n})+f(\frac{n-2}{n})+·s+f(\frac{1}{n})+f(0)$， ②①+②得$2a_{n}=n+1$，所以$a_{n}=\frac{n+1}{2}$，故数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{n+1}{2}$．

德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响. 相传他幼年时在进行$1 + 2 + 3 + ·s + 100$的求和运算时，就利用了倒序相加法，该方法基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成. 已知数列$a_{n}=\dfrac {2n - 98}{2n - 99}$，则$a_{1}+a_{2}+·s +a_{98}$等于(C)

A.96
B.97
C.98
D.99

答案： C [记$S=a_{1}+a_{2}+·s+a_{97}+a_{98}=\frac{96}{97}+\frac{94}{95}+·s+\frac{96}{98}\frac{98}{97}$，则$S=a_{98}+a_{97}+·s+a_{2}+a_{1}=\frac{98}{97}+\frac{96}{95}+·s+\frac{94}{97}\frac{96}{97}$，两式相加得，$2S=(\frac{96}{97}+\frac{94}{95}+·s+\frac{96}{98}\frac{98}{97})+(\frac{98}{97}+\frac{96}{95}+·s+\frac{94}{95}\frac{96}{97})=(\frac{96}{97}+\frac{98}{97})+(\frac{94}{95}+\frac{96}{95})+·s+(\frac{96}{95}+\frac{94}{95})+(\frac{98}{97}+\frac{96}{97})=98×2$，所以$S=98$．]

例 3 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，满足$S_{2}=2$，$S_{4}=16$，$\{ a_{n}+1\}$是等比数列.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)若$a_{n}＞0$，设$b_{n}=\log$2${2}(3a_{n}+3)$，求数列$\left\{\dfrac {1}{b_{n}b_{n + 1}}\right\}$的前$n$项和.
反思感悟：

答案：
(1)设等比数列$\{a_{n}+1\}$的公比为$q$，其前$n$项和为$T_{n}$，因为$S_{2}=2$，$S_{4}=16$，所以$T_{2}=4$，$T_{4}=20$，易知$q\neq1$，所以$T_{2}=\frac{(a_{1}+1)(1-q^{2})}{1-q}=4$， ①$T_{4}=\frac{(a_{1}+1)(1-q^{4})}{1-q}=20$， ②由②$÷$①得$1+q^{2}=5$，解得$q=\pm2$．当$q=2$时，$a_{1}=\frac{1}{3}$，所以$a_{n}+1=\frac{4}{3}×2^{n-1}=\frac{2^{n+1}}{3}$；当$q=-2$时，$a_{1}=-5$，所以$a_{n}+1=(-4)×(-2)^{n-1}=-(-2)^{n+1}$．所以$a_{n}=\frac{2^{n+1}}{3}-1$或$a_{n}=-(-2)^{n+1}-1$．
(2)因为$a_{n}＞0$，所以$a_{n}=\frac{2^{n+1}}{3}-1$，所以$b_{n}=\log_{2}(3a_{n}+3)=n+1$，所以$\frac{1}{b_{n}b_{n+1}}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，所以数列$\{\frac{1}{b_{n}b_{n+1}}\}$的前$n$项和为$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+·s+(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2(n+2)}$．