《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

求曲线 $ y = \frac{1}{x} $ 在点 $ (2, \frac{1}{2}) $ 处的切线方程.

答案： 曲线在点$(2,\frac{1}{2})$处的切线的斜率$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \Delta x} - \frac{1}{2}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{2(2 + \Delta x)} = -\frac{1}{4}$，由直线的点斜式方程可得切线方程为$y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2)$，即$x + 4y - 4 = 0$.

函数的单调性和导数有什么关系？
导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？

答案：
如图，
　　　　
当$t = t_0$时，函数的图象在$t = t_0$处的切线$l_0$平行于$t$轴，即$h^{\prime}(t_0) = 0$，这时，在$t = t_0$附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
当$t = t_1$时，函数的图象在$t = t_1$处的切线$l_1$的斜率$h^{\prime}(t_1) ＜ 0$，这时，在$t = t_1$附近曲线下降，即函数在$t = t_1$附近单调递减.
当$t = t_2$时，函数的图象在$t = t_2$处的切线$l_2$的斜率$h^{\prime}(t_2) ＜ 0$，这时，在$t = t_2$附近曲线下降，即函数在$t = t_2$附近单调递减.
通过研究在$t = t_1$和$t = t_2$处的切线$l_1$和$l_2$，发现切线$l_1$的倾斜程度小于切线$l_2$的倾斜程度，这说明函数在$t = t_1$附近比在$t = t_2$附近下降得缓慢.

若 $ f'(x_0) = 0 $，则函数在 $ x = x_0 $ 处切线斜率 $ k = $0；
若 $ f'(x_0) ＞ 0 $，则函数在 $ x = x_0 $ 处切线斜率 $ k $＞0，且函数在 $ x = x_0 $ 附近单调递增，且 $ f'(x_0) $ 越大，说明函数图象变化得越快；
若 $ f'(x_0) ＜ 0 $，则函数在 $ x = x_0 $ 处切线斜率 $ k $＜0，且函数在 $ x = x_0 $ 附近单调递减，且 $ |f'(x_0)| $ 越大，说明函数图象变化得越快.

答案： $0$ $＞$ 增 $＜$ 减

已知 $ y = f(x) $ 的图象如图所示，则 $ f'(x_A) $ 与 $ f'(x_B) $ 的大小关系是(B)


A.$ f'(x_A) ＞ f'(x_B) $
B.$ f'(x_A) ＜ f'(x_B) $
C.$ f'(x_A) = f'(x_B) $
D.不能确定
反思感悟：

答案： B　[由导数的几何意义，$f^{\prime}(x_A)$，$f^{\prime}(x_B)$分别是函数在点$A$，$B$处切线的斜率，由图象可知$f^{\prime}(x_A) ＜ f^{\prime}(x_B)$.]

已知函数 $ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上可导，其部分图象如图所示，设 $ \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = a $，则下列不等式正确的是(B)


A.$ f'(1) ＜ f'(2) ＜ a $
B.$ f'(1) ＜ a ＜ f'(2) $
C.$ f'(2) ＜ f'(1) ＜ a $
D.$ a ＜ f'(1) ＜ f'(2) $

答案： B

如何利用 $ f'(x_0) $ 的定义以及函数的概念给出导函数的概念？

答案： 如果函数$y = f(x)$在开区间$(a,b)$内的每点处都有导数，即任给$x_0 \in (a,b)$，总有$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f^{\prime}(x_0)$，从而对开区间$(a,b)$内的每一个值$x_0$，都有唯一确定的函数值$f^{\prime}(x_0)$与$x_0$对应，所以在开区间$(a,b)$内，$f^{\prime}(x)$构成一个新的函数——导函数$f^{\prime}(x)$.

从求函数 $ f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处导数的过程可以看到，当 $ x = x_0 $ 时，$ f'(x_0) $ 是一个唯一确定的数. 这样，当 $ x $ 变化时，$ y = f'(x) $ 就是 $ x $ 的函数，我们称它为 $ y = f(x) $ 的导函数(简称导数). $ y = f(x) $ 的导函数记作$f^{\prime}(x)$或$y^{\prime}$，即 $ f'(x) = y' = $$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.

答案： 导函数$f^{\prime}(x)$ $y^{\prime}$
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$