《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母$d$表示.

答案： 2 差 同一个常数 公差 $d$

判断下列各组数列是不是等差数列. 如果是，写出首项 $ a_1 $ 和公差 $ d $.
(1) $ 1,3,5,7,9,·s $；
(2) $ 9,6,3,0,-3,·s $；
(3) $ 1,3,4,5,6,·s $；
(4) $ 7,7,7,7,7,·s $；
(5) $ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},·s $.
反思感悟：

答案： 解
(1)是，$a_1 = 1, d = 2$；
(2)是，$a_1 = 9, d = -3$；
(3)不是；
(4)是，$a_1 = 7$，$d = 0$；
(5)不是.

(多选)下列数列是等差数列的是(ABC)

A.$ 1,1,1,1,1 $
B.$ 4,7,10,13,16 $
C.$ \frac{1}{3},\frac{2}{3},1,\frac{4}{3},\frac{5}{3} $
D.$ -3,-2,-1,1,2 $

答案： ABC

由等差数列的定义可知，如果 $ 1,x,3 $ 这三个数是等差数列，你能求出 $ x $ 的值吗？

答案： 由定义可知$x - 1 = 3 - x$，即$2x = 1 + 3, x = 2$.

由三个数 $ a,A,b $ 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，$ A $ 叫做 $ a $ 与 $ b $ 的等差中项，且 $ 2A = $$a + b$.

答案： 等差中项 $a + b$

(1)若 $ a = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}},b = \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} $，则 $ a,b $ 的等差中项为(A)
A. $ \sqrt{3} $
B. $ \sqrt{2} $
C. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $
D. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
(2)在 $ -1 $ 与 $ 7 $ 之间顺次插入三个数 $ a,b,c $，使这五个数成等差数列，求此数列.
反思感悟：

答案：
(1)$A$
(2)解 因为$-1, a, b, c, 7$成等差数列，所以$b$是$-1$与$7$的等差中项，则$b = \frac{-1 + 7}{2} = 3$，又$a$是$-1$与$3$的等差中项，所以$a = \frac{-1 + 3}{2} = 1$.又$c$是$3$与$7$的等差中项，所以$c = \frac{3 + 7}{2} = 5$.所以该数列为$-1, 1, 3, 5, 7$.

已知 $ m $ 和 $ 2n $ 的等差中项是 $ 4 $，$ 2m $ 和 $ n $ 的等差中项是 $ 5 $，则 $ 2m - n $ 和 $ 2n - m $ 的等差中项是(D)

A.$ 8 $
B.$ 6 $
C.$ 4.5 $
D.$ 3 $

答案： D

你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？

答案： 设一个等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，由等差数列的定义可知，$a_n - a_{n - 1} = d (n \geq 2)$，
思路一：$a_n = a_{n - 1} + d$，故有$a_2 = a_1 + d$，$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$，$a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$，⋯
归纳可得，$a_n = a_1 + (n - 1)d (n \geq 2)$.
思路二：$a_2 - a_1 = d$，$a_3 - a_2 = d$，$a_4 - a_3 = d$，⋯$a_n - a_{n - 1} = d$，左右两边分别相加可得，$a_n - a_1 = (n - 1)d$，即$a_n = a_1 + (n - 1)d (n \geq 2)$.