《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

讨论函数$f(x)=\frac{1}{2}ax^{2}+x-(a + 1)\ln x(a\geq0)$的单调性。
反思感悟：

答案： 解　函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=ax+1-$\frac{a + 1}{x}$=$\frac{ax²+x-(a + 1)}{x}$。
①当a=0时，f'(x)=$\frac{x - 1}{x}$，由f'(x)＞0，得x＞1；由f'(x)＜0，得0＜x＜1。所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增。
②当a＞0时，f'(x)=$\frac{a(x+\frac{a + 1}{a})(x - 1)}{x}$，因为a＞0，所以$\frac{a + 1}{a}$＞0。由f'(x)＞0，得x＞1；由f'(x)＜0，得0＜x＜1。所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增。
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增。

求函数$f(x)=\frac{1}{x^{2}}+a\ln x(a\in R)$的单调递减区间。

答案： 解　易得函数f(x)的定义域是(0,+∞)，f'(x)=-$\frac{2}{x³}$+$\frac{a}{x}$=$\frac{ax² - 2}{x³}$。
①当a≤0时，f'(x)＜0在(0,+∞)上恒成立，故f(x)在(0,+∞)上单调递减。
②当a＞0时，若0＜x＜$\sqrt{\frac{2}{a}}$，则f'(x)＜0；若x＞$\sqrt{\frac{2}{a}}$，则f'(x)＞0。所以f(x)在(0,$\sqrt{\frac{2}{a}}$)上单调递减，在($\sqrt{\frac{2}{a}}$,+∞)上单调递增。
综上可知，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，当a＞0时，f(x)的单调递减区间为(0,$\sqrt{\frac{2}{a}}$)。

已知导函数$f'(x)$的下列信息：当$x ＜ 0$或$x ＞ 7$时，$f'(x) ＞ 0$；当$0 ＜ x ＜ 7$时，$f'(x) ＜ 0$；当$x = 0$或$x = 7$时，$f'(x) = 0$，试画出函数$f(x)$的大致图象。
反思感悟：

答案：
解　当x＜0或x＞7时，f'(x)＞0，可知函数f(x)在区间(-∞,0)和(7,+∞)上都是单调递增的；当0＜x＜7时，f'(x)＜0，可知函数f(x)在区间(0,7)上单调递减；当x=0或x=7时，f'(x)=0，这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”。
故函数f(x)的大致图象如图所示.