《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

(1) 记函数 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$，且 $f(x)=3xf'(2)-2\ln x$，则 $f(1)$ 等于(D)
A. $1$
B. $2$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{3}{2}$
(2) 曲线 $y=\frac{2}{e}(x - 1)e^{x}$ 在点 $(1,0)$ 处的切线与坐标轴围成的面积为1.

答案：
(1)D
(2)1

函数 $ y = \ln(2x - 1) $ 是如何构成的？

答案： $y = \ln(2x - 1)$，其中的$2x - 1$ “占据”了对数函数$y = \ln x$中$x$的位置，$f(x)=\ln x$，而$f(2x - 1)=\ln(2x - 1)$，这里有代入、代换的思想，则函数$y = \ln(2x - 1)$是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数，而函数$y=(2x - 1)\ln x$不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思。

复合函数的概念
一般地，对于两个函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $，如果通过中间变量 $ u $，$ y $ 可以表示成 $ x $ 的函数，那么称这个函数为函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $ 的复合函数，记作 $ y = $$f(g(x))$.

答案： $f(g(x))$

(多选)下列哪些函数是复合函数(BCD)

A.$ y = x\ln x $
B.$ y = (3x + 6)^2 $
C.$ y = e^{\sin x} $
D.$ y = \sin\left(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3}\right) $

答案： BCD

(多选)下列哪些函数是复合函数(ACD)

A.$ y = \log_2(2x + 1) $
B.$ y = 2x^2 - \frac{1}{x} $
C.$ y = 2^{\ln x} $
D.$ y = \cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) $

答案： ACD

如何求函数 $ y = \sin 2x $ 的导数？

答案： $y = \sin 2x = 2\sin x\cos x$，由两个函数相乘的求导法则可知：$y'_x = 2\cos^2 x - 2\sin^2 x = 2\cos 2x$；从整体上看，外层函数是基本初等函数$y = \sin u$，它的导数$y'_u = \cos u$，内层函数是幂函数的线性组合$u = 2x$，它的导数是$u'_x = 2$，发现$y'_x = y'_u · u'_x$。

复合函数的求导法则
一般地，对于由函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $ 复合而成的函数 $ y = f(g(x)) $，它的导数与函数 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $ 的导数间的关系为 $ y'_x = $$y'_u · u'_x$，即 $ y $ 对 $ x $ 的导数等于$y$对$u$的导数与$u$对$x$的导数的乘积.

答案： $y'_x = y'_u · u'_x$，即$y$对$x$的导数等于$y$对$u$的导数与$u$对$x$的导数的乘积

求下列函数的导数：
(1) $ y = \frac{1}{(1 - 3x)^4} $；
(2) $ y = \cos x^2 $；
(3) $ y = \log_2(2x + 1) $；
(4) $ y = e^{3x + 2} $.
反思感悟：

答案： 解
(1)令$u = 1 - 3x$，则$y = \frac{1}{u^4} = u^{-4}$，所以$y'_u = -4u^{-5}$，$u'_x = -3$。所以$y'_x = y'_u · u'_x = 12u^{-5}=\frac{12}{(1 - 3x)^5}$。
(2)令$u = x^2$，则$y = \cos u$，所以$y'_x = y'_u · u'_x = -\sin u · 2x=-2x\sin x^2$。
(3)设$y = \log_2 u$，$u = 2x + 1$，则$y'_x = y'_u · u'_x = \frac{2}{u\ln 2}=\frac{2}{(2x + 1)\ln 2}$
(4)设$y = e^u$，$u = 3x + 2$，则$y'_x = (e^u)' · (3x + 2)'=3e^u = 3e^{3x + 2}$。