《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且首

末

两数的和是 16，中间两数的和是 12。求这四个数。

答案： 解 方法一 从前三个数入手，
设这四个数依次为a - d，a，a + d，$\frac{(a + d)^{2}}{a}$
由条件得$\begin{cases}a - d+\frac{(a + d)^{2}}{a}=16\\a+(a + d)=12\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 4\\d = 4\end{cases}$或$\begin{cases}a = 9\\d = - 6\end{cases}$
当a = 4，d = 4时，所求四个数为0，4，8，16；
当a = 9，d = - 6时，所求四个数为15，9，3，1。
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1。
方法二 从后三个数入手，设这四个数依次为$\frac{2a}{q}，$a，aq，$aq^{2}(q\neq0)，$
由条件得$\begin{cases}\frac{2a}{q}+aq = 16\frac{a}{q}+a = 12\end{cases}$
解得$\begin{cases}q = 2\\a = 8\end{cases}$或$\begin{cases}q=\frac{1}{3}\\a = 3\end{cases}$
当q = 2，a = 8时，所求四个数为0，4，8，16；当$q=\frac{1}{3}，$a = 3时，所求四个数为15，9，3，1。
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1。
方法三 从首末两项的和与中间两项的和入手，设这四个数依次为x，y，12 - y，16 - x，
由已知得$\begin{cases}2y=x+(12 - y)\12 - y)^{2}=y(16 - x)\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 0\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = 15\\y = 9\end{cases}$
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1。

延伸探究
若将本例中“和是 16”改为“积是 -128”，将“和是 12”改为“积是 16”，如何求解？
反思感悟：

答案： 解 设这四个数依次为$\frac{2a}{q}-aq$，$\frac{a}{q}$，$aq$，$aq^{3}(q\neq0)$。
则由已知得$\begin{cases}\frac{a}{q}·(aq)=16\\\left(\frac{2a}{q}-aq\right)·(aq^{3})=-128\end{cases}$
由①得$a^{2}=16$，所以$a = 4$或$a = - 4$。
由②得$2a^{2}q^{2}-a^{2}q^{4}=-128$。
将$a^{2}=16$代入整理，得$q^{4}-2q^{2}-8 = 0$，解得$q^{2}=4$或$q^{2}=-2$(舍去)，
所以$q = 2$或$q = - 2$。
所以所求四个数为$-4$，$2$，$8$，$32$或$4$，$-2$，$-8$，$-32$。

三个互不相等的数构成等差数列，如果适当排列这三个数，又可构成等比数列，这三个数的和为 6，求这三个数。

答案： 解 由已知，可设这三个数为$a - d$，$a$，$a + d$，$d\neq0$，则$a - d+a+a + d = 6$，即$a = 2$，这三个数可表示为$2 - d$，$2$，$2 + d$。
①若$2 - d$为$2$和$2 + d$的等比中项，
则$(2 - d)^{2}=2(2 + d)$，
解得$d = 6$或$d = 0$(舍去)，此时这三个数为$-4$，$2$，$8$。
②若$2 + d$为$2 - d$和$2$的等比中项，
则$(2 + d)^{2}=2(2 - d)$，
解得$d = - 6$或$d = 0$(舍去)，此时这三个数为$8$，$2$，$-4$。
③若$2$为$2 - d$和$2 + d$的等比中项，
则$2^{2}=(2 + d)(2 - d)$，解得$d = 0$(舍去)。
综上，这三个数为$-4$，$2$，$8$。

某人买了一辆价值 13.5 万元的新车，专家预测这种车每年按 10% 的速度贬值。
(1) 用一个式子表示 $ n (n \in \mathbf{N}^*) $ 年后这辆车的价值；
(2) 如果他打算用满 4 年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
反思感悟：

答案： 解
(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$·s$，$a_{n}$，$·s$
由题意，得$a_{1}=13.5$，
$a_{2}=13.5×(1 - 10\%)$，
$a_{3}=13.5×(1 - 10\%)^{2}$，$·s$
由等比数列的定义，知数列$\{ a_{n}\}$是等比数列，首项$a_{1}=13.5$，
公比$q = 1 - 10\% = 0.9$，
所以$a_{n}=a_{1}· q^{n - 1}=13.5×0.9^{n - 1}$。
所以$n$年后车的价值为
$a_{n + 1}=(13.5×0.9^{n})$万元。
(2)由
(1)得$a_{5}=a_{1}· q^{4}=13.5×0.9^{4}$
$\approx8.9$(万元)，
所以用满$4$年时卖掉这辆车，他大概能得到$8.9$万元。