《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

已知递增的等差数列$\{ a_{n}\}$的前三项的和为$21$，前三项的积为$231$，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式。

答案： 解 方法一 根据题
意，设等差数列$\{a_n\}$的前三项分别为
$a_1$，$a_1 + d$，$a_1 + 2d$，
则$\begin{cases}a_1+(a_1 + d)+(a_1 + 2d)=21,\\a_1(a_1 + d)(a_1 + 2d)=231,\end{cases}$
即$\begin{cases}3a_1 + 3d = 21,\\a_1(a_1^2 - d^2)=231,\end{cases}$
即$\begin{cases}a_1(a_1 + d)(a_1 + 2d)=231,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_1 = 3,\\d = 4\end{cases}$或$\begin{cases}a_1 = 11,\\d = -4\end{cases}$。
因为数列$\{a_n\}$为递增数列，
所以$\begin{cases}a_1 = 3,\\d = 4\end{cases}$，
从而等差数列$\{a_n\}$的通项公式为
$a_n=4n - 1$。
方法二 由于数列$\{a_n\}$为等差数列，
因此可设前三项分别为$a - d$，$a$，$a + d$，
由题意得$\begin{cases}(a - d)+a+(a + d)=21,\\a(a - d)(a + d)=231,\end{cases}$
即$\begin{cases}3a = 21,\\a(a^2 - d^2)=231,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 7,\\d = 4\end{cases}$或$\begin{cases}a = 7,\\d = -4\end{cases}$。
由于数列$\{a_n\}$为递增数列，
因此$\begin{cases}a = 7,\\d = 4\end{cases}$，
从而$a_n=4n - 1$。

已知数列$a_{1}$，$a_{2}$，$·s$，$a_{30}$，其中$a_{1}$，$a_{2}$，$·s$，$a_{10}$是首项为$1$，公差为$1$的等差数列；$a_{10}$，$a_{11}$，$·s$，$a_{20}$是公差为$d(d\neq 0)$的等差数列；$a_{20}$，$a_{21}$，$·s$，$a_{30}$是公差为$d^{2}$的等差数列。
(1) 若$a_{20}=40$，求$d$；
(2) 试写出$a_{30}$关于$d$的关系式，并求$a_{30}$的取值范围；
(3) 续写已知数列，使得$a_{30}$，$a_{31}$，$·s$，$a_{40}$是公差为$d^{3}$的等差数列，以此类推，把已知数列推广为无穷数列。
反思感悟：

答案： 解
(1)依题意得，$a_{10}=10$，
$a_{20}=10 + 10d=40$，所以$d = 3$。
(2)$a_{30}=a_{20}+10d^2=10(1 + d + d^2)$
$(d\neq0)$，
故$a_{30}=10\left[(d+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\right]$，
当$d\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$时，$a_{30}$的
取值范围为$[\frac{15}{2},+\infty)$。
(3)所给数列可推广为无穷数列$\{a_n\}$，
其中$a_1,a_2,·s,a_{10}$是首项为1，公差
为1的等差数列，当$n\geq1$时，$a_{10n}$，
$a_{10n + 1}$，$·s$，$a_{10(n + 1)}$是公差为$d^n$的等
差数列。

已知数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，$a_{4}=15$，$a_{7}=27$，则过点$P(3,a_{3})$，$Q(5,a_{5})$的直线斜率为(A)

A.$4$
B.$\frac{1}{4}$
C.$-4$
D.$-\frac{1}{4}$

答案： 跟踪训练4 A