《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

设等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，等比数列$\{ b_{n}\}$的各项都为正数，且满足$a_{1}=b_{1}=2$，$a_{3}=b_{1}+b_{2}$，$S_{3}=b_{3}+4$.
(1)求$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$的通项公式；
(2)记$c_{n}=\begin{cases}a_{n},n = 2k - 1,\\b_{n},n = 2k\end{cases}(k\in \mathbf{N}^{*})$，求数列$\{ c_{n}\}$的前$21$项的和.(答案可保留指数幂的形式)

答案：
(1)设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，正项等比数列$\{b_{n}\}$的公比为$q(q＞0)$，依题意，$\begin{cases}2+2d=2+2q,\\3×2+3d=2q^{2}+4,\end{cases}$解得$d=q=2$，所以数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=2n$，数列$\{b_{n}\}$的通项公式为$b_{n}=2^{n}$．
(2)由
(1)知，$a_{2k-1}=4k-2$，数列$\{a_{2k-1}\}$是等差数列，首项为$2$，公差为$4$，$b_{2k}=2^{2k}=4^{k}$，数列$\{b_{2k}\}$是等比数列，首项为$4$，公比为$4$，而$c_{n}=\begin{cases}a_{n},n=2k-1,\\b_{n},n=2k\end{cases}$ $(k\in N^{*})$，则数列$\{c_{n}\}$的前$21$项的和$T_{21}=(a_{1}+a_{3}+·s+a_{21})+(b_{2}+b_{4}+·s+b_{20})=11×2+\frac{11×10}{2}×4+\frac{4×(1-4^{10})}{1-4}=\frac{4^{11}+722}{3}$所以数列$\{c_{n}\}$的前$21$项的和为$\frac{4^{11}+722}{3}$．