《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

一般地，证明一个与正整数$n$有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当$n=n_0(n_0\in\mathbf{N}^*)$时命题成立；
(2)（归纳递推）以“当$n=k$($k\in \mathbf{N}^*$，$k\geqslant n_0$)时命题成立”为条件，推出“当$n=k + 1$时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从$n_0$开始的所有正整数$n$都成立，这种证明方法称为数学归纳法.

答案：
(1)$n=n_0(n_0\in\mathbf{N}^*)$
(2)$n=k$ $n=k + 1$ $n_0$

(1) 用数学归纳法证明不等式$2^n ＞ (n + 1)^2(n\geqslant n_0,n\in \mathbf{N}^*)$时，初始值$n_0$应等于6.
(2) 用数学归纳法证明$1 + 2 + 2^2 + ·s + 2^{n - 1} = 2^n - 1(n\in \mathbf{N}^*)$的过程如下：
① 当$n = 1$时，左边$= 1$，右边$= 2^1 - 1 = 1$，等式成立.
② 假设当$n = k(k\in \mathbf{N}^*)$时等式成立，即$1 + 2 + 2^2 + ·s + 2^{k - 1} = 2^k - 1$，则当$n = k + 1$时，$1 + 2 + 2^2 + ·s + 2^{k - 1} + 2^k = \frac{1 - 2^{k + 1}}{1 - 2} = 2^{k + 1} - 1$，所以当$n = k + 1$时等式也成立. 由此可知对于任何$n\in \mathbf{N}^*$，等式都成立. 上述证明，错误是未用归纳假设.
反思感悟：

答案：
(1)6
解析 由题意，得当$n = 1$时，$2^1＜(1 + 1)^2$；当$n = 2$时，$2^2＜(2 + 1)^2$；当$n = 3$时，$2^3＜(3 + 1)^2$；当$n = 4$时，$2^4＜(4 + 1)^2$；当$n = 5$时，$2^5＜(5 + 1)^2$；当$n = 6$时，$2^6＞(6 + 1)^2$，所以用数学归纳法证明不等式$2^n＞(n + 1)^2(n\geqslant n_0,n\in\mathbf{N}^*)$时，初始值$n_0$应等于$6$.
(2)未用归纳假设
解析 本题在由$n = k$成立证明$n = k + 1$成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.

对于不等式$\sqrt{n^2 + n} ＜ n + 1(n\in \mathbf{N}^*)$，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1) 当$n = 1$时，$\sqrt{1^2 + 1} ＜ 1 + 1$，不等式成立.
(2) 假设当$n = k(k\geqslant 1$且$k\in \mathbf{N}^*)$时，不等式成立，即$\sqrt{k^2 + k} ＜ k + 1$，则当$n = k + 1$时，
$\sqrt{(k + 1)^2 + (k + 1)} = \sqrt{k^2 + 3k + 2}$
$＜ \sqrt{(k^2 + 3k + 2) + k + 2}$
$= \sqrt{(k + 2)^2} = (k + 1) + 1$，
所以当$n = k + 1$时，不等式成立，则上述证法(D)
A. 过程全部正确
B. $n = 1$验证不正确
C. 归纳假设不正确
D. 从$n = k$到$n = k + 1$的推理不正确

答案： D

用数学归纳法证明“$\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ·s + \frac{1}{3n} \geqslant \frac{5}{6}$”的过程中，从$n = k(k\in \mathbf{N}^*)$到$n = k + 1$，不等式的左边增加了(B)

A.$\frac{1}{3k + 1}$
B.$\frac{1}{3k + 1} + \frac{1}{3k + 2} - \frac{2}{3k + 3}$
C.$\frac{1}{3k + 3}$
D.$\frac{1}{3k + 1} + \frac{1}{3k + 2} + \frac{2}{3k + 3}$

答案： B [用数学归纳法证明不等式$\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ·s + \frac{1}{3n} \geqslant \frac{5}{6}$的过程中，
假设$n = k(k\in\mathbf{N}^*)$时不等式成立，
左边$=\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + ·s + \frac{1}{3k}$
则当$n = k + 1$时，
左边$=\frac{1}{k + 2} + ·s + \frac{1}{3k} + \frac{1}{3k + 1} + \frac{1}{3k + 2} + \frac{1}{3(k + 1)}$，
所以从$n = k(k\in\mathbf{N}^*)$到$n = k + 1$，不等式的左边增加了
$\frac{1}{3k + 1} + \frac{1}{3k + 2} + \frac{1}{3(k + 1)} - \frac{1}{k + 1}$
$=\frac{1}{3k + 1} + \frac{1}{3k + 2} - \frac{2}{3k + 3}$。