《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

一只昆虫的爬行路程 $ s $（单位：米）关于时间 $ t $（单位：分）的函数为 $ y = s(t) = \begin{cases} 3t^2, & 0 \leq t ＜ 3, \\ 15 + 3(t - 1)^2, & t \geq 3, \end{cases} $ 求 $ s'(1) $ 与 $ s'(4) $，并解释它们的实际意义。

答案： 解 当$0\leq t＜3$时，$s(t)=3t^{2}$，$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{s(1+\Delta t)-s(1)}{\Delta t}=\frac{3(1+\Delta t)^{2}-3}{\Delta t}=6+3\Delta t$，所以$s'(1)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}(6+3\Delta t)=6$.
当$t\geq3$时，$s(t)=15+3(t-1)^{2}$，$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{s(4+\Delta t)-s(4)}{\Delta t}=\frac{15+3(4+\Delta t-1)^{2}-[15+3×(4-1)^{2}]}{\Delta t}=18+3\Delta t$，所以$s'(4)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}(18+3\Delta t)=18$.
$s'(1)=6$说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度大约为6米/分，$s'(4)=18$说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度大约为18米/分.

导数 $ f'(x_0) $ 的几何意义是什么？

答案：
我们知道导数$f^{\prime}(x_0)$表示函数$y = f(x)$在$x = x_0$处的瞬时变化率，反映了函数$y = f(x)$在$x = x_0$附近的变化情况，如下图.
　　
　　　
容易发现，平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$表示的是割线$P_0P$的斜率，当$P$点沿着曲线无限趋近于$P_0$点时，割线$P_0P$无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线$P_0T$称为曲线$y = f(x)$在点$P_0$处的切线，因此函数$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f^{\prime}(x_0)$就是切线$P_0T$的斜率$k_0$，即$k_0 = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f^{\prime}(x_0)$，这就是导数的几何意义.

函数 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的导数的几何意义是曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ P(x_0, f(x_0)) $ 处的切线的斜率. 也就是说，曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ P(x_0, f(x_0)) $ 处的切线的斜率是$f^{\prime}(x_0)$. 相应地，切线方程为$y - f(x_0) = f^{\prime}(x_0)(x - x_0)$.

答案： 切线的斜率$f^{\prime}(x_0)$ $y - f(x_0) = f^{\prime}(x_0)(x - x_0)$

已知曲线 $ y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{4}{3} $.
(1) 求曲线在点 $ P(2,4) $ 处的切线方程；
(2) 求曲线过点 $ P(2,4) $ 的切线方程.
反思感悟：

答案：
(1)因为$P(2,4)$在曲线$y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{4}{3}$上，所以曲线在点$P(2,4)$处切线的斜率为$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{3}(2 + \Delta x)^3 + \frac{4}{3} - (\frac{1}{3} × 2^3 + \frac{4}{3})}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} [4 + 2\Delta x + \frac{1}{3}(\Delta x)^2] = 4$.
所以曲线在点$P(2,4)$处的切线方程为$y - 4 = 4(x - 2)$，即$4x - y - 4 = 0$.
(2)设曲线$y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{4}{3}$与过点$P(2,4)$的切线相切于点$A(x_0,\frac{1}{3}x_0^3 + \frac{4}{3})$，则切线的斜率为$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{3}(x_0 + \Delta x)^3 - \frac{1}{3}x_0^3}{\Delta x} = x_0^2$，所以切线方程为$y - (\frac{1}{3}x_0^3 + \frac{4}{3}) = x_0^2(x - x_0)$，即$y = x_0^2 · x - \frac{2}{3}x_0^3 + \frac{4}{3}$.
因为点$P(2,4)$在切线上，所以$4 = 2x_0^2 - \frac{2}{3}x_0^3 + \frac{4}{3}$，即$x_0^3 - 3x_0^2 + 4 = 0$.
所以$x_0^3 + x_0^2 - 4x_0^2 + 4 = 0$，所以$x_0^2(x_0 + 1) - 4(x_0 + 1)(x_0 - 1) = 0$，所以$(x_0 + 1)(x_0 - 2)^2 = 0$，解得$x_0 = -1$或$x_0 = 2$.
故所求的切线方程为$x - y + 2 = 0$或$4x - y - 4 = 0$.