《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 首项为$a_{1}$，公比为$q$的等比数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} =$$a_1q^{n - 1}$。

答案： 1.$a_1q^{n - 1}$

2. 等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(1) 当$q＞0$且$q\neq1$时，等比数列$\{a_{n}\}$的第$n$项$a_{n}$是函数$f(x)=\frac{a_{1}}{q}· q^{x}(x\in\mathbf{R})$当$x = n$时的函数值，即$a_n = f(n)$。
(2) 任给函数$f(x)=ka^{x}(k,a$为常数，$k\neq0$，$a＞0$，且$a\neq1)$，则$f(1)=ka$，$f(2)=ka^{2}$，$·s$，$f(n)=ka^{n}$，$·s$构成一个等比数列$\{ka^{n}\}$，其首项为$ka_1$，公比为$a$。

答案： 2.
(1)$a_n = f(n)$
(2)$ka_1$ $a$

在等比数列$\{a_{n}\}$中：
(1) $a_{1} = 1$，$a_{4} = 8$，求$a_{n}$；
(2) $a_{4} = 625$，$q = 5$，求$a_{1}$；
(3) $a_{2} + a_{5} = 18$，$a_{3} + a_{6} = 9$，$a_{n} = 1$，求$n$。
反思感悟：

答案： 解
(1)设$\{a_n\}$的公比为$q$，
因为$a_4 = a_1q^3$，
所以$8 = q^3$，所以$q = 2$，
所以$a_n = a_1q^{n - 1}=2^{n - 1}$.
(2)$a_1=\frac{a_4}{q^{4 - 1}}=\frac{625}{5^{4 - 1}}=5$，故$a_1 = 5$.
(3)设$\{a_n\}$的公比为$q$，
因为$\begin{cases}a_2 + a_5 = a_1q + a_1q^4 = 18, &①\\a_3 + a_6 = a_1q^2 + a_1q^5 = 9, &②\end{cases}$
由$\frac{②}{①}$，得$q=\frac{1}{2}$，从而$a_1 = 32$.
又$a_n = 1$，所以$32×(\frac{1}{2})^{n - 1}=1$，
即$2^{6 - n}=2^0$，故$n = 6$.

若一数列为$a^{-6}$，$1$，$a^{6}$，$a^{12}$，$a^{18}$，$·s$，其中$a\neq0$，则$a^{2022}$是这个数列的(D)

A.不在此数列中
B.第$337$项
C.第$338$项
D.第$339$项

答案： D

若数列$\{a_{n}\}$的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？

答案： 不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性.

判定与证明等比数列的方法
(1) 定义法：$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} =$$q$($n\in\mathbf{N}^{*}$且$n\geq2$，$q$为不为$0$的常数)。
(2) 等比中项法：$a_{n}^{2} =$$a_{n - 1}a_{n + 1}$($n\in\mathbf{N}^{*}$且$n\geq2$，$a_{n}\neq0$)。
(3) 通项公式法：$a_{n} =$$a_1q^{n - 1}$$=\frac{a_{1}}{q}· q^{n}=A· q^{n}(A\neq0)$。

答案：
(1)$q$
(2)$a_{n - 1}a_{n + 1}$
(3)$a_1q^{n - 1}$

已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$S_{n}=\frac{1}{3}(a_{n} - 1)(n\in\mathbf{N}^{*})$。
(1) 求$a_{1}$，$a_{2}$；
(2) 求证：数列$\{a_{n}\}$是等比数列。

答案：
(1)解 由$S_1=\frac{1}{3}(a_1 - 1)$，
得$a_1=\frac{1}{3}(a_1 - 1)$，
所以$a_1=-\frac{1}{2}$.
又$S_2=\frac{1}{3}(a_2 - 1)$，
即$a_1 + a_2=\frac{1}{3}(a_2 - 1)$，得$a_2=\frac{1}{4}$.
(2)证明 当$n\geqslant2$时，
$a_n = S_n - S_{n - 1}=\frac{1}{3}(a_n - 1)-\frac{1}{3}(a_{n - 1}-1)$，得$\frac{a_n}{a_{n - 1}}=-\frac{1}{2}$.
又$a_1=-\frac{1}{2}$，
所以$\{a_n\}$是首项为$-\frac{1}{2}$，公比为$-\frac{1}{2}$的等比数列.