《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 平均变化率
对于函数 $ y = f(x) $，设自变量 $ x $ 从 $ x_0 $ 变化到 $ x_0 + \Delta x $，相应地，函数值 $ y $ 就从 $ f(x_0) $ 变化到 $ f(x_0 + \Delta x) $。这时，$ x $ 的变化量为 $ \Delta x $，$ y $ 的变化量为 $ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) $。我们把比值 $ \frac{\Delta y}{\Delta x} $，即 $ \frac{\Delta y}{\Delta x} = $$\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$ 叫做函数 $ y = f(x) $ 从 $ x_0 $ 到 $ x_0 + \Delta x $ 的平均变化率。

答案： 1.$\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$

2. 导数
如果当 $ \Delta x \to 0 $ 时，平均变化率 $ \frac{\Delta y}{\Delta x} $ 无限趋近于一个确定的值，即 $ \frac{\Delta y}{\Delta x} $ 有极限，则称 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处可导，并把这个确定的值叫做 $ y = f(x) $ 在$x=x_{0}$处的导数(也称为瞬时变化率)，记作$f'(x_{0})$或$y'\big|_{x=x_{0}}$，即 $ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = $$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$。

答案： 2.可导 $x=x_{0}$ 导数 $f'(x_{0})$ $y'\big|_{x=x_{0}}\quad \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$

已知函数 $ y = f(x) = 2x^2 + 1 $。
(1) 求函数 $ f(x) $ 在区间 $ [x_0, x_0 + \Delta x] $ 上的平均变化率；
(2) 求函数 $ f(x) $ 在区间 $ [2, 2.01] $ 上的平均变化率；
(3) 求函数 $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处的瞬时变化率。
反思感悟：

答案： 解
(1)因为$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=2(x_{0}+\Delta x)^{2}+1 - 2x_{0}^{2}-1=2\Delta x(2x_{0}+\Delta x)$，所以函数$f(x)$在区间$[x_{0},x_{0}+\Delta x]$上的平均变化率为$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2\Delta x(2x_{0}+\Delta x)}{\Delta x}=4x_{0}+2\Delta x$.
(2)由
(1)可知$\frac{\Delta y}{\Delta x}=4x_{0}+2\Delta x$，当$x_{0}=2,\Delta x=0.01$时，$\frac{\Delta y}{\Delta x}=4×2+2×0.01=8.02$，即函数$f(x)$在区间$[2,2.01]$上的平均变化率为8.02.
(3)$\Delta y=f(2+\Delta x)-f(2)=2(2+\Delta x)^{2}+1-(2×2^{2}+1)=2(\Delta x)^{2}+8\Delta x$.所以$\frac{\Delta y}{\Delta x}=2\Delta x+8$.故函数$f(x)$在$x=2$处的瞬时变化率为$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}(2\Delta x+8)=8$.

已知函数 $ f(x) = -\frac{6}{x} $。
(1) 函数 $ f(x) $ 在区间 $ [1, 1.5] $，$ [1, 1.1] $ 上的平均变化率各是多少？
(2) 函数 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处的瞬时变化率是多少？

答案： 解
(1)因为$f(x)=-\frac{6}{x}$，所以$f(1)=-6,f(1.5)=-4$，$f(1.1)=-\frac{60}{11}$，所以该函数在区间$[1,1.5]$上的平均变化率为$\frac{f(1.5)-f(1)}{1.5 - 1}=\frac{2}{0.5}=4$，在区间$[1,1.1]$上的平均变化率为$\frac{f(1.1)-f(1)}{1.1 - 1}=\frac{\frac{60}{11}+6}{0.1}=\frac{60}{11}$.
(2)函数$f(x)$在$x=1$处的瞬时变化率为$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{6}{1+\Delta x}-(-6)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{6\Delta x}{\Delta x(1+\Delta x)}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{6}{1+\Delta x}=6$.