《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

等差数列$\{ a_{n}\}$中，$ S_{3} = 3 $，$ S_{6} = 9 $，则 $ S_{12} $ 等于(D)

A.12
B.18
C.24
D.30

答案： 跟踪训练1 D

一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为 24 和 30，最后一项与第一项之差为 10.5，求此数列的首项、公差、项数.
反思感悟：

答案： 解 方法一 设此数列的首项为$a_1，$公差为d，项数为$2k(k\in N^*).$
根据题意，得$\begin{cases}S_{奇}=24,\\S_{偶}=30,\\a_{2k}-a_1=\frac{21}{2},\end{cases}$
即$\begin{cases}\frac{1}{2}k(a_1+a_{2k-1})=24,\frac{1}{2}k(a_2+a_{2k})=30,\2k-1)d=\frac{21}{2},\end{cases}$
$\begin{cases}k[a_1+(k-1)d]=24,\\k[a_1+kd]=30,\end{cases}$
所以$\begin{cases}k(a_1+kd)=30,\2k-1)d=\frac{21}{2},\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_1=\frac{3}{2},\\d=\frac{3}{2},\\k=4,\end{cases}$
所以首项为$\frac{3}{2}，$公差为$\frac{3}{2}，$项数为8.
方法二 设此数列的首项为$a_1，$公差为d，项数为$2k(k\in N^*).$
根据题意，得$\begin{cases}S_{奇}=24,\\S_{偶}=30,\\a_{2k}-a_1=\frac{21}{2},\end{cases}$
$\begin{cases}S_{偶}-S_{奇}=6,\\a_{2k}-a_1=\frac{21}{2},\end{cases}$
所以$\begin{cases}kd=6,\2k-1)d=\frac{21}{2}\end{cases}$所以$\begin{cases}k=4,\\d=\frac{3}{2}.\end{cases}$
代入$S_{奇}=\frac{k}{2}(a_1+a_{2k-1})=24，$
可得$a_1=\frac{3}{2}.$
所以首项为$\frac{3}{2}，$公差为$\frac{3}{2}，$项数为8.

(1)等差数列$\{ a_{n}\}$共 2023 项，求它的奇数项和与偶数项和之比.
(2)一个等差数列前 20 项和为 75，其中奇数项和与偶数项和之比为 $ 1:2 $，求公差 $ d $.

答案：
(1)解 由题意知等差数列$\{a_n\}$共有$1012$个奇数项，$1011$个偶数项，
所以$S_{奇}=\frac{1012(a_1+a_{2023})}{2}$，
$S_{偶}=\frac{1011(a_2+a_{2022})}{2}$.
因为$a_1+a_{2023}=a_2+a_{2022}$，
所以$\frac{S_{奇}}{S_{偶}}=\frac{1012}{1011}$.
(2)解 前$20$项中，
奇数项和$S_{奇}=\frac{1}{3}×75=25$，
偶数项和$S_{偶}=\frac{2}{3}×75=50$，
又$S_{偶}-S_{奇}=10d$，
所以$d=\frac{50-25}{10}=2.5$.

请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题.

答案： 我们学校会议室里的一排排座位的总和；超市里有规律摆放的水果的总和；工地上的一堆钢管的总和等.