《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？
(1) 1，0.84，0.84²，0.84³，…；
(2) 2，4，6，8，10，…；
(3) 7，7，7，7，…；
(4) $\frac{1}{3}$，$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{27}$，$\frac{1}{81}$，…；
(5) 10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；
(6) 0，−1，2，−3，4，−5，….
反思感悟：

答案： 解　
(5)是有穷数列;
(1)
(2)
(3)
(4)
(6)是无穷数列;
(2)是递增数列;
(1)
(4)
(5)是递减数列;
(3)是常数列;
(6)是摆动数列.

下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？
(1) 2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2024；
(2) 0，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，…，$\frac{n - 1}{n}$，…；
(3) 1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{2^{n - 1}}$，…；
(4) $-\frac{1}{1×2}$，$\frac{1}{2×3}$，$-\frac{1}{3×4}$，$\frac{1}{4×5}$，…；
(5) 1，0，−1，…，$\sin\frac{n\pi}{2}$，…；
(6) 9，9，9，9，9，9.

答案： 解　
(1)
(6)是有穷数列;
(2)
(3)
(4)
(5)是无穷数列;
(1)
(2)是递增数列;
(3)是递减数列;
(6)是常数列;
(5)是周期数列.

我们发现问题 1 中的(1)(2)(3)(5)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？

答案： 对于
(1)，$a_1 = 7$，$a_2 = 7 × 7 = 7^2$，$a_3 = 7 × 7 × 7 = 7^3$，…，
　于是$a_n = 7^n$，$n \in \{1,2,3,4,5\}$;
　对于
(2)，$a_n = (\frac{1}{2})^{n - 1}$，$n \in \mathbf{N}^*$;
　对于
(3)，$a_n = 2024$，$n \in \{x \mid x 是本班学生的学号\}$;
　对于
(5)，$a_n = (-\frac{1}{2})^n$，$n \in \mathbf{N}^*$.

1. 如果数列 $\{a_n\}$ 的第 $n$ 项 $a_n$ 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

答案： 1. 序号n　通项公式

根据数列 $\{a_n\}$ 的通项公式，写出数列 $\{a_n\}$ 的前 5 项，并作出它们的图象.
(1) $a_n = (-1)^n + 2$；
(2) $a_n = \frac{n + 1}{n}$.

答案：
解　
(1)数列$\{ a_{n}\}$的前5项依次是1,3,1,3,1，图象如图1所示.
　
(2)数列$\{ a_{n}\}$的前5项依次是2,$\frac{3}{2}$,$\frac{4}{3}$,$\frac{5}{4}$,$\frac{6}{5}$，图象如图2所示.