《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

若质点 $ P $ 的运动方程是 $ s(t) = \sqrt[3]{t^{2}} $($ s $ 的单位为 $ \mathrm{m} $，$ t $ 的单位为 $ \mathrm{s} $)，求质点 $ P $ 在 $ t = 8 \mathrm{s} $ 时的瞬时速度。
反思感悟：

答案： 解$s(t)=\sqrt[3]{t^2}$,
故$s'(t)=\frac{2}{3}t^{-\frac{1}{3}}$,
$s'(8)=\frac{2}{3} × 8^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$,
故质点$P$在$t=8s$时的瞬时速度为$\frac{1}{3}m/s$.

求函数 $ f(x) = \frac{100}{x} $ 的导数 $ f'(x) $，并求 $ f'(1) $，$ f'(2) $，$ f'(3) $。

答案： 解$f'(x)=-\frac{100}{x^2}$,
$f'(1)=-100$,
$f'(2)=-\frac{100}{4}=-25$,
$f'(3)=-\frac{100}{9}$.

已知曲线 $ y = \ln x $，点 $ P(\mathrm{e}, 1) $ 是曲线上一点，求曲线在点 $ P $ 处的切线方程。

答案： 解因为$y'=\frac{1}{x}$,
所以切线的斜率$k=y'|_{x=e}=\frac{1}{e}$,
所以切线方程为$y-1=\frac{1}{e}(x-e)$,
即$x-ey=0$.

延伸探究
1. 已知 $ y = kx + 1 $ 是曲线 $ y = \ln x $ 的一条切线，则 $ k = $$\frac{1}{e^2}$。
2. 求曲线 $ y = \ln x $ 过点 $ O(0, 0) $ 的切线方程。
反思感悟：

答案： 1$\frac{1}{e^2}$
解析 设切点坐标为$(x_0,y_0)$，由题意得$y'|_{x=x_0}=\frac{1}{x_0}=k$，
又$y_0=kx_0+1,y_0=\ln x_0$，
解得$y_0=2,x_0=e^2$，所以$k=\frac{1}{e^2}$.
2.解因为$O(0,0)$不在曲线$y=\ln x$上.所以设切点为$Q(x_0,y_0)$，
则切线的斜率$k=\frac{1}{x_0}$.
又切线的斜率$k=\frac{y_0-0}{x_0-0}=\frac{\ln x_0}{x_0}$,
所以$\frac{\ln x_0}{x_0}=\frac{1}{x_0}$，即$x_0=e$，
所以$Q(e,1)$，所以$k=\frac{1}{e}$，
所以切线方程为$y-1=\frac{1}{e}(x-e)$，
即$x-ey=0$.