《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

写出下列数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：
(1) −1，$\frac{1}{2}$，−$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$；
(2) $\frac{1}{2}$，2，$\frac{9}{2}$，8；
(3) 0，1，0，1；
(4) 9，99，999，9 999.

答案： 解　
(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，
　所以它的一个通项公式为$a_n = \frac{(-1)^n}{n}$，$n \in \mathbf{N}^*$.
(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：$\frac{1}{2}$,$\frac{4}{2}$,$\frac{9}{2}$,$\frac{16}{2}$,…，
　所以它的一个通项公式为$a_n = \frac{n^2}{2}$，$n \in \mathbf{N}^*$.
(3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成$\begin{cases} 0, n 为奇数, \\ 1, n 为偶数, \end{cases}$由第
(1)题也可以写成$a_n = \frac{1 + (-1)^n}{2}$（$n \in \mathbf{N}^*$）或$a_n = \frac{1 + \cos n\pi}{2}$（$n \in \mathbf{N}^*$）.
(4)各项加1后，变为10,100,1000，10000,...，此数列的通项公式为$10^n$，可得原数列的一个通项公式为$a_n = 10^n - 1$，$n \in \mathbf{N}^*$.

延伸探究
根据本例中的第(4)题，试解决以下 2 个问题：
1. 试写出前 4 项为 1，11，111，1 111 的一个通项公式.
2. 试写出前 4 项为 7，77，777，7 777 的一个通项公式.
反思感悟：

答案： 1. 解　由本例的第
(4)题可知，每一项除以9即可，即$a_n = \frac{1}{9}(10^n - 1)$，$n \in \mathbf{N}^*$.
2. 解　由本例的第
(4)题可知，每一项乘$\frac{7}{9}$即可，即$a_n = \frac{7}{9}(10^n - 1)$，$n \in \mathbf{N}^*$.

写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：
(1) 1，3，7，15，31，…；
(2) $\frac{1}{2}$，$\frac{4}{5}$，$\frac{9}{10}$，$\frac{16}{17}$，$\frac{25}{26}$，…；
(3) $-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$，…；
(4) 2×3，3×4，4×5，5×6，….

答案： 解　
(1)由1 = 2 - 1，3 = $2^2 - 1$，7 = $2^3 - 1$，15 = $2^4 - 1$，31 = $2^5 - 1$，…可得$a_n = 2^n - 1$.
(2)由$\frac{1}{2} = \frac{1}{1^2 + 1}$，$\frac{4}{5} = \frac{2^2}{2^2 + 1}$，$\frac{9}{10} = \frac{3^2}{3^2 + 1}$，$\frac{16}{17} = \frac{4^2}{4^2 + 1}$，$\frac{25}{26} = \frac{5^2}{5^2 + 1}$，…可得$a_n = \frac{n^2}{n^2 + 1}$.
(3)由$-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,$-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,$-\frac{1}{2}$，…可知奇数项为负数，偶数项为正数，可得$a_n = (-1)^n × \frac{1}{2}$.
(4)由2×3 = (1 + 1)×(1 + 2)，3×4 = (2 + 1)×(2 + 2)，4×5 = (3 + 1)×(3 + 2)，5×6 = (4 + 1)×(4 + 2)，…可得$a_n = (n + 1)(n + 2)$.