《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

1.瞬时速度:物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

答案： 1.某一时刻

3.瞬时速度的计算:设物体运动的时间与位移的函数关系式为$y=h(t)$,则物体在$t_0$时刻的瞬时速度为$\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{h(t_0+\Delta t)-h(t_0)}{\Delta t}$.

答案： 3.$\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{h(t_0+\Delta t)-h(t_0)}{\Delta t}$

例2 某物体的运动路程$s$(单位:m)与时间$t$(单位:s)的关系可用函数$y=s(t)=t^2+t+1$表示,求物体在$t=1\ s$时的瞬时速度.
延伸探究
1.若本例中的条件不变,试求物体的初速度.
2.若本例中的条件不变,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为$9\ m/s$.
反思感悟:.

答案： 解　因为$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{s(1+\Delta t)-s(1)}{\Delta t}=\frac{(1+\Delta t)^2+(1+\Delta t)+1-(1^2+1+1)}{\Delta t}=3+\Delta t$，所以$\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}(3+\Delta t)=3$.即物体在$t = 1s$时的瞬时速度为$3m/s$.
@@1.解　求物体的初速度，即求物体在$t = 0$时的瞬时速度，因为$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{s(0+\Delta t)-s(0)}{\Delta t}=\frac{(0+\Delta t)^2+(0+\Delta t)+1 - 1}{\Delta t}=\frac{(\Delta t)^2+\Delta t}{\Delta t}=1+\Delta t$，所以$\lim_{\Delta t\rightarrow0}(1+\Delta t)=1$.即物体的初速度为$1m/s$.2.解　设物体在$t_0$时刻的瞬时速度为$9m/s$.又$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}=(2t_0 + 1)+\Delta t$.$\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}(2t_0+1+\Delta t)=2t_0 + 1$.则$2t_0+1=9$，所以$t_0=4$.则物体在$4s$时的瞬时速度为$9m/s$.

跟踪训练2 一质点$M$按运动方程$y=s(t)=at^2+1$做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若质点$M$在$t=2$时的瞬时速度为$8\ m/s$,求常数$a$的值.

答案： 解　因为质点$M$在$t = 2$附近的平均变化率为
$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{s(2+\Delta t)-s(2)}{\Delta t}=\frac{a(2+\Delta t)^2-4a}{\Delta t}=4a+a\Delta t$，
又质点$M$在$t = 2$时的瞬时速度为$8m/s$，
所以$\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta t}=4a=8$，即$a = 2$.