《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

如果$\{ a_{n}\}$是等差数列，$a_{3}=5$，$d = 2$，不求首项，你能求数列的通项公式吗？

答案： 由定义可知$a_3=a_1 + 2d$，$a_n=a_1+(n - 1)d$，两式相减得$a_n - a_3=$
$(n - 3)d$，即$a_n=a_3+(n - 3)d$。所以$a_n=2n - 1$。

若数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，公差为$d$，$m + n = p + q(m,n,p,q\in \mathbf{N}^{*})$，则$a_{m}$，$a_{n}$，$a_{p}$，$a_{q}$这四项之间有什么样的关系？

答案： 由等差数列的定义可知，$a_m=a_1+(m - 1)d$，$a_n=a_1+(n - 1)d$，
$a_p=a_1+(p - 1)d$，$a_q=a_1+(q - 1)d$，
容易发现$a_m + a_n=2a_1+(m + n - 2)d$，
$a_p + a_q=2a_1+(p + q - 2)d$，因为
$m + n=p + q$，故有$a_m + a_n=a_p + a_q$。

1. 设等差数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公差为$d$，则
$a_{n}=dn+(a_{1}-d)(n\in \mathbf{N}^{*})$；
$a_{n}=a_{m}+$(n - m)d$(m,n\in \mathbf{N}^{*})$；
$d=$$\frac{a_n - a_m}{n - m}$$(m,n\in \mathbf{N}^{*}$，且$m\neq n)$。

答案： 1.
(2)$(n - m)d$
(3)$\frac{a_n - a_m}{n - m}$

2. 下标性质：在等差数列$\{ a_{n}\}$中，若$m + n = p + q(m,n,p,q\in \mathbf{N}^{*})$，则$a_{m}+a_{n}=$$a_p + a_q$。特别地，若$m + n = 2p(m,n,p\in \mathbf{N}^{*})$，则有$a_{m}+a_{n}=$$2a_p$。

答案： 2. $a_p + a_q$ $2a_p$

(1) 已知$\{ a_{n}\}$为等差数列，$a_{15}=8$，$a_{60}=20$，求$a_{75}$。
(2) 已知数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，若$a_{1}-a_{9}+a_{17}=7$，则$a_{3}+a_{15}$等于(B)
A. $7$
B. $14$
C. $21$
D. $7(n - 1)$

答案：
(1)解 方法一 (利用$a_n=a_m+(n - m)d$)
设数列$\{a_n\}$的公差为$d$，
则$a_{60}=a_{15}+(60 - 15)d=8 + 45d=20$，
所以$d=\frac{20 - 8}{45}=\frac{12}{45}=\frac{4}{15}$，
所以$a_{75}=a_{60}+(75 - 60)d=20 + 15×\frac{4}{15}=24$。
方法二 (利用隔项成等差数列)
因为$\{a_n\}$为等差数列，
所以$a_{15},a_{30},a_{45},a_{60},a_{75}$也成等差数列，
设其公差为$d$，$a_{15}$为首项，
则$a_{60}$为第四项，
所以$a_{60}=a_{15}+3d$，解得$d = 4$，
所以$a_{75}=a_{60}+d=24$。
(2)B [因为$a_1 - a_9 + a_{17}=(a_1 + a_{17})-a_9=2a_9 - a_9=a_9=7$，
所以$a_3 + a_{15}=2a_9=2×7=14$。]

延伸探究
在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{3}+a_{7}+2a_{15}=40$，求$a_{10}$。
反思感悟：

答案： 延伸探究 解 方法一 设数列$\{a_n\}$
的公差为$d$。
则$a_3 + a_7 + 2a_{15}$
$=a_1 + 2d + a_1 + 6d + 2(a_1 + 14d)$
$=4a_1 + 36d=4(a_1 + 9d)=4a_{10}$
$=40$，
所以$a_{10}=10$。
方法二 因为$a_3 + a_7 + 2a_{15}=(a_3 +a_{15})+(a_7 + a_{15})=2a_9 + 2a_{11}=2(a_9 +a_{11})=4a_{10}=40$，所以$a_{10}=10$。

(1) 已知$\{ b_{n}\}$为等差数列，若$b_{3}=-2$，$b_{10}=12$，则$b_{8}=$8。
(2) 数列$\{ a_{n}\}$满足$3 + a_{n}=a_{n + 1}$且$a_{2}+a_{4}+a_{6}=9$，则$\log$${6}(a_{5}+a_{7}+a_{9})$的值是(C)
A. $-2$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $2$
D. $\frac{1}{2}$

答案：
(1)8
(2)C

若数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，首项为$a_{1}$，公差为$d$，在$\{ a_{n}\}$中每相邻两项之间都插入$4$个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？

答案： 设新数列为$\{b_n\}$，公差为$d'$，
则有$b_1=a_1$，$b_6=a_2$，
所以$b_6 - b_1=a_2 - a_1=d$，
故有$5d'=d$，所以$d'=\frac{1}{5}d$。