《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现$S_{n},S_{2n}-S_{n},S_{3n}-S_{2n},·s$（n为偶数且$q = - 1$除外）的关系吗？

答案： $S_n$,$S_{2n}-S_n$,$S_{3n}-S_{2n}$,$·s$仍成等比数列，证明如下：
思路一：当$q=1$时，结论显然成立；
当$q \neq 1$时，$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$
$S_{2n}=\frac{a_1(1-q^{2n})}{1-q}$,$S_{3n}=\frac{a_1(1-q^{3n})}{1-q}$
$S_{2n}-S_n=\frac{a_1(1-q^{2n})}{1-q}-\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$
$=\frac{a_1q^n(1-q^n)}{1-q}$
$S_{3n}-S_{2n}=\frac{a_1(1-q^{3n})}{1-q}-\frac{a_1(1-q^{2n})}{1-q}$
$=\frac{a_1q^{2n}(1-q^n)}{1-q}$
而$(S_{2n}-S_n)^2=\left[\frac{a_1q^n(1-q^n)}{1-q}\right]^2$
$S_n(S_{3n}-S_{2n})=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} × \frac{a_1q^{2n}(1-q^n)}{1-q}$
故有$(S_{2n}-S_n)^2=S_n(S_{3n}-S_{2n})$，
所以$S_n$,$S_{2n}-S_n$,$S_{3n}-S_{2n}$成等比数列.
思路二：由性质$S_{m+n}=S_m+q^mS_n$
可知$S_{2n}=S_n+q^nS_n$，
故有$S_{2n}-S_n=q^nS_n$，
$S_{3n}=S_{2n}+q^{2n}S_n$，
故有$S_{3n}-S_{2n}=q^{2n}S_n$，
故有$(S_{2n}-S_n)^2=S_n(S_{3n}-S_{2n})$，
所以$S_n$,$S_{2n}-S_n$,$S_{3n}-S_{2n}$成等比数列.

类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的性质，等比数列是否也有相似的性质？

答案： 若等比数列$\{a_n\}$的项数有$2n$项，
其偶数项和为$S_偶=a_2+a_4+·s+a_{2n}$，
其奇数项和为$S_奇=a_1+a_3+·s+a_{2n-1}$，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即$S_偶=a_1q+a_3q+·s+a_{2n-1}q=qS_奇$，所以有$\frac{S_偶}{S_奇}=q$.
若等比数列$\{a_n\}$的项数有$2n+1$项，
其偶数项和为$S_偶=a_2+a_4+·s+a_{2n}$，
其奇数项和为$S_奇=a_1+a_3+·s+a_{2n-1}+a_{2n+1}$，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有$S_奇-a_1=a_3+·s+a_{2n-1}+a_{2n+1}=a_2q+a_4q+·s+a_{2n}q=qS_偶$，即$S_奇=a_1+qS_偶$.

你能否用等比数列$\{ a_{n}\}$中的$S_{m},S_{n}$来表示$S_{m + n}$？

答案： 思路一：$S_{m+n}=a_1+a_2+·s+a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+·s+a_{m+n}=S_m+a_1q^m+a_2q^m+·s+a_nq^m=S_m+q^mS_n$.
思路二：$S_{m+n}=a_1+a_2+·s+a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+·s+a_{n+m}=S_n+a_1q^n+a_2q^n+·s+a_mq^n=S_n+q^nS_m$.

1. 数列$\{ a_{n}\}$为公比不为$-1$的等比数列(或公比为$-1$，且n不是偶数)，$S_{n}$为其前n项和，则$S_{n},S_{2n}-S_{n}$，$S_{3n}-S_{2n}$仍构成等比数列。

答案： 1.$S_{3n}-S_{2n}$

2. 若$\{ a_{n}\}$是公比为q的等比数列，$S_{偶},S_{奇}$分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
(1)在其前$2n$项中，$\frac{S_{偶}}{S_{奇}} = q$。
(2)在其前$2n + 1$项中，$S_{奇}-S_{偶}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+·s - a_{2n}+a_{2n + 1}=\frac{a_{1}+a_{2n + 1}q}{1 - (- q)}=\frac{a_{1}+a_{2n + 2}}{1 + q}(q\neq - 1)$；$S_{奇}=a_{1}+qS_{偶}$。

答案： 2. 若$\{ a_{n}\}$是公比为q的等比数列，$S_{偶},S_{奇}$分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
(1)在其前$2n$项中，$\frac{S_{偶}}{S_{奇}} = q$。
(2)在其前$2n + 1$项中，$S_{奇}-S_{偶}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+… - a_{2n}+a_{2n + 1}=\frac{a_{1}+a_{2n + 1}q}{1 - (- q)}=\frac{a_{1}+a_{2n + 2}}{1 + q}(q\neq - 1)$；$S_{奇}=a_{1}+qS_{偶}$。

3. 若$\{ a_{n}\}$是公比为q的等比数列，则$S_{n + m}=S_{n}+$$q^nS_m$$(n,m\in N^{*})$。

答案： 3.$q^nS_m$

(1)已知等比数列$\{ a_{n}\}$共有$2n$项，其和为$-240$，且$(a_{1}+a_{3}+·s +a_{2n - 1})-(a_{2}+a_{4}+·s +a_{2n}) = 80$，则公比$q=$2。
(2)若等比数列$\{ a_{n}\}$共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为2，项数为9。
(3)在等比数列$\{ a_{n}\}$中，已知$S_{n}=48,S_{2n}=60$，求$S_{3n}$。
反思感悟：

答案：
(1)2
解析 由题意知$S_奇+S_偶=-240$，
$S_奇-S_偶=80$，
所以$S_奇=-80$,$S_偶=-160$，
所以$q=\frac{S_偶}{S_奇}=2$.
(2)2 9
解析 由性质$S_偶=a_1+qS_偶$可知
$341=1+170q$，所以$q=2$，设这个数列共有$2n+1$项，则$S_{2n+1}=\frac{1-2^{2n+1}}{1-2}=341+170=511$，解得$n=4$，即这个等比数列的项数为9.
(3) 解 方法一 因为$S_{2n} \neq 2S_n$，
所以$q \neq 1$，由已知得
$\begin{cases} \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=48, &①\\ \frac{a_1(1-q^{2n})}{1-q}=60, &②\end{cases}$
②÷①得$1+q^n=\frac{5}{4}$，
即$q^n=\frac{1}{4}$，
将③代入①得$\frac{a_1}{1-q}=64$，
所以$S_{3n}=\frac{a_1(1-q^{3n})}{1-q}$
$=64 × \left(1-\left(\frac{1}{4}\right)^3\right)=63$.
方法二 因为$\{a_n\}$为等比数列，显然公比不等于-1，所以$S_n$,$S_{2n}-S_n$,$S_{3n}-S_{2n}$也成等比数列，
所以$(S_{2n}-S_n)^2=S_n(S_{3n}-S_{2n})$，
所以$S_{3n}=\frac{(S_{2n}-S_n)^2}{S_n}+S_{2n}$
$=\frac{(60-48)^2}{48}+60=63$.
方法三 由性质$S_{m+n}=S_m+q^mS_n$
可知$S_{2n}=S_n+q^nS_n$，
即$60=48+48q^n$，得$q^n=\frac{1}{4}$，
所以$S_{3n}=S_{2n}+q^{2n}S_n=60+48 × \left(\frac{1}{4}\right)^2=63$.