《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资 72 万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为 12 万元，以后每年都增加 4 万元，每年收入租金 50 万元.
(1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？
(2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其他项目，问应在第几年转投其他项目？
反思感悟：

答案： 解
(1)设第$n$年获取的利润为$y$万元，则$n$年共收入租金$50n$万元，维护费构成一个以$12$为首项，$4$为公差的等差数列，
共$12n+4×\frac{n(n-1)}{2}=(2n^2+10n)$万元，
因此利润$y=50n-(72+2n^2+10n)$
$=-2n^2+40n-72$，
令$y＞0$，解得$2＜n＜18$，
因为$n\in N^*$，所以从第$3$年起开始获取纯利润.
(2)年平均获利为
$\bar{y}=\frac{-2n^2+40n-72}{n}$
$=-(2n+\frac{72}{n})+40$，
因为$2n+\frac{72}{n}\geq2\sqrt{2n·\frac{72}{n}}=24$，
所以$-(2n+\frac{72}{n})+40\leq-24+40=16$，
当且仅当$2n=\frac{72}{n}$，即$n=6$时，取等号，
所以应在第$6$年转投其他项目.

《张邱建算经》卷上第 22 题为：今有女善织，日益功疾，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同量的布，若第 1 天织 5 尺布，现在一月(按 30 天计)共织 390 尺布，则每天比前一天多织$\frac{16}{29}$尺布(不作近似计算).

答案： 跟踪训练3 $\frac{16}{29}$

观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题。
(1) 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”构成数列：$9$，$9^{2}$，$9^{3}$，$9^{4}$，$9^{5}$，$9^{6}$，$9^{7}$，$9^{8}$；
(2) 《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{32}$，$·s$；
(3) $-\frac{1}{2}$的$n$次幂按$1$次幂、$2$次幂、$3$次幂$·s$，依次排成一列数：$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$-\frac{1}{8}$，$\frac{1}{16}$，$·s$，
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？

答案： 我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.对于
(1)，我们发现$\frac{9^2}{9}=9$，$\frac{9^3}{9^2}=9$，$\frac{9^4}{9^3}=9$，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于
(2)，$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$，…；对于
(3)，$\frac{-\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}$，…，也有相同的取值规律.