《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

求下列函数的导数：
(1) $ y = \frac{1}{\sqrt{1 - 2x}} $；
(2) $ y = 5\log_2(1 - x) $；
(3) $ y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) $.

答案： 解
(1)$y=(1 - 2x)^{-\frac{1}{2}}$，设$y = u^{-\frac{1}{2}}$，$u = 1 - 2x$，则$y'_x = (u^{-\frac{1}{2}})'(1 - 2x)'=(-\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}) · (-2)=(1 - 2x)^{-\frac{3}{2}}$。
(2)函数$y = 5\log_2(1 - x)$可看作函数$y = 5\log_2 u$和$u = 1 - x$的复合函数，所以$y'_x = y'_u · u'_x = 5(\log_2 u)' · (1 - x)'=\frac{-5}{u\ln 2} = \frac{5}{(x - 1)\ln 2}$。
(3)设$y = \sin u$，$u = 2x + \frac{\pi}{3}$，则$y'_x = (\sin u)'\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)'=\cos u · 2 = 2\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$。

某港口在一天 24 小时内潮水的高度近似满足关系式 $ s(t) = 3\sin\left(\frac{\pi}{12}t + \frac{5\pi}{6}\right)(0 \leq t \leq 24) $，其中 $ s $ 的单位是 $ m $，$ t $ 的单位是 $ h $，求函数在 $ t = 18 $ 时的导数，并解释它的实际意义.
反思感悟：

答案： 解 设$f(x)=3\sin x$，$x = \varphi(t)=\frac{\pi}{12}t + \frac{5\pi}{6}$，所以$s'(t)=f'(x)\varphi'(t)=3\cos x ·\frac{\pi}{12}\cos\left(\frac{\pi}{12}t + \frac{5\pi}{6}\right)$，将$t = 18$代入$s'(t)$，得$s'(18)=\frac{\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{3}=\frac{\pi}{8}(m/h)$。$s'(18)$表示当$t = 18h$时，潮水的高度上升的速度为$\frac{\pi}{8}m/h$。