《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

由上节课可知在数列的通项公式中，给定任意的序号 $ n $，就会有唯一确定的 $ a_n $ 与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？

答案： 函数.

已知数列 $ \{ a_n \} $ 的通项公式是 $ a_n = n\left( \dfrac{2}{3} \right)^n $，$ n \in \mathbf{N}^* $。试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由。
反思感悟：

答案： 解 方法一 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} =$
$ \frac{(n + 1)(\frac{2}{3})^{n + 1}}{n(\frac{2}{3})^{n}} = \frac{n + 1}{n} · \frac{2}{3}$，
当 $n ＜ 2$ 时，$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ＞ 1$，即 $a_{n + 1} ＞ a_{n}$；
当 $n = 2$ 时，$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1$，即 $a_{n + 1} = a_{n}$；
当 $n ＞ 2$ 时，$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ＜ 1$，即 $a_{n + 1} ＜ a_{n}$.
则 $a_{1} ＜ a_{2} = a_{3} ＞ a_{4} ＞ a_{5} ＞ ·s$，
故数列 $\{ a_{n}\}$ 有最大项，为第 2 项和第 3 项，且 $a_{2} = a_{3} = 2 × (\frac{2}{3})^{2} = \frac{8}{9}$.
方法二 根据题意，令 $\begin{cases} a_{n - 1} \leq a_{n}, \\ a_{n} \geq a_{n + 1}, \end{cases}$
即 $\begin{cases} (n - 1) × (\frac{2}{3})^{n - 1} \leq n(\frac{2}{3})^{n}, \\ n(\frac{2}{3})^{n} \geq (n + 1)(\frac{2}{3})^{n + 1}, \end{cases}$
解得 $2 \leq n \leq 3$.
又 $n \in N^{*}$，则 $n = 2$ 或 $n = 3$.
故数列 $\{ a_{n}\}$ 有最大项，为第 2 项和第 3 项，且 $a_{2} = a_{3} = 2 × (\frac{2}{3})^{2} = \frac{8}{9}$.

已知数列 $ a_n = -n^2 + 4n + 2 $，则该数列中最大项的序号是(A)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： A

观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？

答案： 自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多 1，即 $a_{1} = 4,a_{2} = 5$
$= 4 + 1 = a_{1} + 1,a_{3} = 6 = 5 + 1 = a_{2} + 1$.
依此类推：$a_{n} = a_{n - 1} + 1(2 \leq n \leq 7)$.

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。

答案： 一个式子

若数列 $ \{ a_n \} $ 满足 $ a_1 = 2 $，$ a_{n + 1} = \dfrac{1 + a_n}{1 - a_n} $，$ n \in \mathbf{N}^* $，求 $ a_6 $。

答案： 解 $a_{2} = \frac{1 + a_{1}}{1 - a_{1}} = \frac{1 + 2}{1 - 2} = - 3$，
$a_{3} = \frac{1 + a_{2}}{1 - a_{2}} = \frac{1 - 3}{1 + 3} = - \frac{1}{2}$，
$a_{4} = \frac{1 + a_{3}}{1 - a_{3}} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$，
$a_{5} = \frac{1 + a_{4}}{1 - a_{4}} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 2$，
$a_{6} = \frac{1 + a_{5}}{1 - a_{5}} = \frac{1 + 2}{1 - 2} = - 3$.