《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

已知函数 $ y = f(x) = x^2 - \frac{1}{2}x $. 求：
(1) $ f'(x) $；
(2) $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处的导数.
反思感悟：

答案：
(1)因为$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (\Delta x)^2 + 2x · \Delta x - \frac{1}{2}\Delta x$，所以$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2x + \Delta x - \frac{1}{2}$.
所以$f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 2x - \frac{1}{2}$.
(2)$f^{\prime}(1) = 2 × 1 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

已知函数 $ y = ax^2 + bx + c $，其中 $ a, b, c $ 为常数，求该函数在 $ x = 1 $ 和 $ x = 2 $ 处的导数.

答案： $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{a(x + \Delta x)^2 + b(x + \Delta x) + c - (ax^2 + bx + c)}{\Delta x} = 2ax + b + a\Delta x$，$\lim_{\Delta x \to 0}(2ax + b + a\Delta x) = 2ax + b$，当$x = 1$时，瞬时变化率为$2a + b$，即函数的导数为$2a + b$，当$x = 2$时，瞬时变化率为$4a + b$，即函数的导数为$4a + b$，所以$y^{\prime}|_{x = 1} = 2a + b$，$y^{\prime}|_{x = 2} = 4a + b$.

回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？

答案： 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数.

如何求常函数 $ y = f(x) = c $ 的导数？

答案： 因为$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
$=\frac{c-c}{\Delta x}=0$，
所以$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}0=0$，
即$(c)'=0$.
我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数：
$f(x)=x \Rightarrow f'(x)=1=1x^{1-1}$;
$f(x)=x^2 \Rightarrow f'(x)=2x=2x^{2-1}$;
$f(x)=x^3 \Rightarrow f'(x)=3x^2=3x^{3-1}$;
$f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1} \Rightarrow f'(x)=-x^{-2}$
$=-x^{-1-1}$;
$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$.通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的规律，即$(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha -1}$.