《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题：

从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？

答案： 诗中文字有对称性;S=2+4+6+8+10+12+14=2×(1+2+3+4 +5+6+7),根据对称性,可先取其一半来研究.其数的个数较少，大家很容易求出答案.

网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第 $ 1 $ 行到第 $ n $ 行一共有多少个字？

答案：
方法一　对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项,转化成项数为偶数来研究.通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数,结果都是S= $\frac{n(n + 1)}{2}$,可见，结果与项数的奇偶无关.
方法二　(如图)在原式的基础上，再加一遍1+2+3+…+n,
即S=1+2+3+…+n,
S=n+(n−1)+(n−2)+…+1,避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”,其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和.

对于一般的等差数列$\{ a_{n}\}$，如何求其前 $ n $ 项和 $ S_{n} $？设其首项为 $ a_{1} $，公差为 $ d $.

答案： 倒序相加法
$\begin{cases} S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ·s + a_n, \\ S_n = a_n + a_{n - 1} + a_{n - 2} + ·s + a_1, \end{cases}$
$\Rightarrow$
$\begin{cases} S_n = a_1 + a_1 + ·s + a_1 + 2d + ·s + a_1 + (n - 1)d, \\ S_n = a_n + a_n - d + a_n - 2d + ·s + a_n - (n - 1)d, \end{cases}$
两式相加可得$2S_n = n(a_1 + a_n)$,即$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$,上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等.

等差数列的前 $ n $ 项和公式

答案： $\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ $na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$

在等差数列$\{ a_{n}\}$中：
(1)已知 $ a_{6} = 10 $，$ S_{5} = 5 $，求 $ a_{8} $ 和 $ S_{10} $；
(2)已知 $ a_{1} = 4 $，$ S_{8} = 172 $，求 $ a_{8} $ 和 $ d $.
反思感悟：
_

答案： 解　
(1)$\begin{cases} S_5 = 5a_1 + \frac{5 × 4}{2}d = 5, \\ a_6 = a_1 + 5d = 10, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a_1 = - 5, \\ d = 3. \end{cases}$
所以$a_8 = a_6 + 2d = 10 + 2 × 3 = 16$,$S_{10} = 10a_1 + \frac{10 × 9}{2}d = 10 × (- 5) + 5 × 9 × 3 = 85$.
(2)由已知得$S_8 = \frac{8(a_1 + a_8)}{2} = \frac{8(4 + a_8)}{2} = 172$,
解得$a_8 = 39$,
又因为$a_8 = 4 + (8 - 1)d = 39$,
所以$d = 5$.所以$a_8 = 39,d = 5$.

在等差数列$\{ a_{n}\}$中：
(1)$ a_{1} = 1 $，$ a_{4} = 7 $，求 $ S_{9} $；
(2)$ a_{3} + a_{15} = 40 $，求 $ S_{17} $；
(3)$ a_{1} = \frac{5}{6} $，$ a_{n} = -\frac{3}{2} $，$ S_{n} = -5 $，求 $ n $ 和 $ d $.

答案： 解　
(1)设等差数列$\{ a_n \}$的公差为$d$,
则$a_4 = a_1 + 3d = 1 + 3d = 7$,
所以$d = 2$.
故$S_9 = 9a_1 + \frac{9 × 8}{2}d = 9 + \frac{9 × 8}{2} × 2 = 81$.
(2)$S_{17} = \frac{17 × (a_1 + a_{17})}{2} = \frac{17 × (a_3 + a_{15})}{2} = \frac{17 × 40}{2} = 340$.
(3)由题意得,$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(\frac{5}{6} - \frac{3}{2})}{2} = - 5$,
解得$n = 15$.
又$a_{15} = \frac{5}{6} + (15 - 1)d = - \frac{3}{2}$,
解得$d = - \frac{1}{6}$,
所以$n = 15,d = - \frac{1}{6}$.