《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

在无穷等差数列$\{ a_{n}\}$中，首项$a_{1}=3$，公差$d=-5$，依次取出序号能被$4$除余$3$的项组成数列$\{ b_{n}\}$。
(1) 求$b_{1}$和$b_{2}$；
(2) 求数列$\{ b_{n}\}$的通项公式；
(3) 数列$\{ b_{n}\}$中的第$503$项是$\{ a_{n}\}$中的第几项？

答案： 解
(1)因为$a_1=3$，$d=-5$，
所以$a_n=3+(n - 1)×(-5)=8 - 5n$。
数列$\{a_n\}$中序号被4除余3的项是$\{a_n\}$
中的第3项，第7项，第11项，$·s$，
所以$b_1=a_3=-7$，$b_2=a_7=-27$。
(2)设数列$\{a_n\}$中的第$m$项是数列
$\{b_n\}$中的第$n$项，即$b_n=a_m$，
则$m=3 + 4(n - 1)=4n - 1$，
所以$b_n=a_m=a_{4n - 1}=8 - 5×(4n - 1)$
$=13 - 20n$，即数列$\{b_n\}$的通项公式为
$b_n=13 - 20n$。
(3)$3 + 4×(503 - 1)=2011$，
所以数列$\{b_n\}$中的第503项是数列
$\{a_n\}$中的第2011项。

延伸探究
有两个等差数列$2$，$6$，$10$，$·s$，$190$和$2$，$8$，$14$，$·s$，$200$，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为(B)

A.$15$
B.$16$
C.$17$
D.$18$

答案： 延伸探究 B [易见，第一个数列的
公差为4，第二个数列的公差为6，故
新数列的公差为具有相同首项的两个
数列公差的最小公倍数，其公差为
12，首项为2，
所以通项公式为$a_n=12n - 10$，
所以$12n - 10\leq190$，解得$n\leq\frac{50}{3}$，
而$n\in N^*$，所以$n$的最大值为16，即
这个新数列的项数为16。]

已知两个等差数列$\{ a_{n}\}$：$5$，$8$，$11$，$·s$，与$\{ b_{n}\}$：$3$，$7$，$11$，$·s$，它们的公共项组成数列$\{ c_{n}\}$，则数列$\{ c_{n}\}$的通项公式$c_{n}=$12n - 1；若数列$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$的项数均为$100$，则$\{ c_{n}\}$的项数是25。

答案： 跟踪训练2 12n - 1 25

已知四个数成等差数列，它们的和为$32$，它们的平方和为$276$，求这四个数。
反思感悟：

答案： 解 设这四个数为a - 3d，a - d，
a + d，a + 3d。则
$\begin{cases}a - 3d + a - d + a + d + a + 3d = 32,\a - 3d)^2+(a - d)^2+(a + d)^2+(a + 3d)^2 = 276,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 8,\\d = 1\end{cases}$或$\begin{cases}a = 8,\\d = -1,\end{cases}$
所以这四个数为5,7,9,11或11,9,7,5。