《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

已知 $ \{ a_n \} $ 为等比数列。
(1) 若 $ \{ a_n \} $ 满足 $ a_2 a_4 = \frac{1}{2} $，求 $ a_1 a_3^2 a_5 $；
(2) 若 $ a_n ＞ 0, a_5 a_7 + 2 a_6 a_8 + a_6 a_{10} = 49 $，求 $ a_6 + a_8 $；
(3) 若 $ a_n ＞ 0, a_5 a_6 = 9 $，求 $ \log_3 a_1 + \log_3 a_2 + ·s + \log_3 a_{10} $ 的值。
反思感悟：

答案： 解
(1)在等比数列$\{ a_{n}\}$中，
因为$a_{2}a_{4}=\frac{1}{2}$，
所以$a_{3}^{2}=a_{1}a_{5}=a_{2}a_{4}=\frac{1}{2}$，
所以$a_{1}a_{3}^{2}a_{5}=\frac{1}{4}$。
(2)由等比中项，化简条件得
$a_{6}^{2}+2a_{6}a_{8}+a_{8}^{2}=49$，
即$(a_{6}+a_{8})^{2}=49$，
因为$a_{n}＞0$，所以$a_{6}+a_{8}=7$。
(3)由等比数列的性质知$a_{5}a_{6}=a_{1}a_{10}$
$=a_{2}a_{9}=a_{3}a_{8}=a_{4}a_{7}=9$，
所以$\log_{3}a_{1}+\log_{3}a_{2}+·s+\log_{3}a_{10}=$
$\log_{3}(a_{1}a_{2}·s a_{10})=\log_{3}[(a_{1}a_{10})·$
$(a_{2}a_{9})(a_{3}a_{8})(a_{4}a_{7})(a_{5}a_{6})]=\log_{3}9^{5}$
$=10$。

(1) 已知等比数列 $ \{ a_n \} $ 满足 $ a_1 + a_5 + a_9 = 21, a_4 + a_8 + a_{12} = 42\sqrt{2} $，则 $ a_7 $ 等于(B)
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
(2) 在等比数列 $ \{ a_n \} $ 中，$ a_1, a_{13} $ 是方程 $ x^2 - 13x + 9 = 0 $ 的两根，则 $ \frac{a_2 a_{12}}{a_7} $ 的值为(B)
A. $ \sqrt{13} $
B. 3
C. $ \pm \sqrt{13} $
D. $ \pm 3 $

答案：
(1)B
(2)B

结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？

答案： 等差数列 等比数列
定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列
符号表示 $(n\geq2,n\in N^{*})a_{n}-a_{n - 1}=d$ $(n\geq2,n\in N^{*})\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=q$
通项公式 $a_{n}=a_{1}+(n - 1)d$ $a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$
类比 差→商；和→积，积→乘方
等差数列首项为$a_{1}$，公差为$d$ 等比数列首项为$a_{1}$，公比为$q$
把等差数列前$k$项去掉，得到一个以$a_{k + 1}$为首项，以$d$为公差的等差数列 把等比数列前$k$项去掉，得到一个以$a_{k + 1}$为首项，以$q$为公比的等比数列
等差数列中，$a_{k},a_{k + m},·s,a_{k + 2m}$是公差为$md$的等差数列 等比数列中，$a_{k},a_{k + m},·s,a_{k + 2m}$是公比为$q^{m}$的等比数列
等差数列中每一项加上同一个常数构成一个公差不变的等差数列 等比数列中每一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列
两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列

等比数列的常用结论
(1) 若 $ \{ a_n \} $ 是公比为 $ q $ 的等比数列，则
① $ \{ c a_n \} $($ c $ 为任一不为零的常数)是公比为$q$ 的等比数列；
② $ \{ | a_n | \} $ 是公比为$|q|$ 的等比数列；
③ $ \{ a_n^m \} $($ m $ 为常数，$ m \in \mathbf{N}^* $)是公比为$q^{m}$ 的等比数列。
(2) 若 $ \{ a_n \}, \{ b_n \} $ 分别是公比为 $ q_1, q_2 $ 的等比数列，则数列 $ \{ a_n · b_n \} $ 是公比为$q_{1}· q_{2}$ 的等比数列。
(3) 等比数列的“子数列”的性质
若数列 $ \{ a_n \} $ 是公比为 $ q $ 的等比数列，则
① $ \{ a_n \} $ 去掉前几项后余下的项仍组成公比为 $ q $ 的等比数列；
② 奇数项数列 $ \{ a_{2n - 1} \} $ 是公比为 $ q^2 $ 的等比数列，偶数项数列 $ \{ a_{2n} \} $ 是公比为 $ q^2 $ 的等比数列；
③ 若 $ \{ k_n \} $ 是等差数列且公差为 $ d $，则 $ \{ a_{k_n} \} $ 是公比为 $ q^d $ 的等比数列，也就是说，若等比数列中项的序号成等差数列，则对应的项依次成等比数列。

答案：
(1)①$q$ ②$|q|$ ③$q^{m}$
(2)$q_{1}· q_{2}$

如果数列 $ \{ a_n \} $ 是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是(D)

A.$ \left\{ \frac{1}{a_n} \right\} $
B.$ \{ \sqrt[3]{a_n} \} $
C.$ \{ a_n · a_{n + 1} \} $
D.$ \{ a_n + a_{n + 1} \} $

答案： D [取等比数列$a_{n}=(-1)^{n}$，则$a_{n}+a_{n + 1}=0$，所以$\{ a_{n}+a_{n + 1}\}$不是等比数列，故D错误；
对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质.]

设 $ \{ a_n \} $ 是各项为正数的无穷数列，$ A_i $ 是边长为 $ a_i, a_{i + 1} $ 的矩形面积 $ (i = 1, 2, ·s) $，则 $ \{ A_n \} $ 为等比数列的充要条件为(D)

A.$ \{ a_n \} $ 是等比数列
B.$ a_1, a_3, ·s, a_{2n - 1}, ·s $ 或 $ a_2, a_4, ·s, a_{2n}, ·s $ 是等比数列
C.$ a_1, a_3, ·s, a_{2n - 1}, ·s $ 和 $ a_2, a_4, ·s, a_{2n}, ·s $ 均是等比数列
D.$ a_1, a_3, ·s, a_{2n - 1}, ·s $ 和 $ a_2, a_4, ·s, a_{2n}, ·s $ 均是等比数列，且公比相同

答案： 跟踪训练2 D