《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

窗花(俗称剪纸)蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意。一位艺术家把一张厚度(单位：cm)为 0.0125 的纸对折了三次，开始进行剪纸创作，若不计纸与纸之间的间隙，则对折后的半成品厚度是1 mm。

答案： 1

例 1 已知数列$\{ a_n \}$满足$ a_1 = 1 $，$ a_{n + 1} = 2a_n + 1 $，求$\{ a_n \}$的通项公式.
反思感悟：

答案： 解 因为$a_{n+1}=2a_n+1$，令$a_{n+1}+t=2(a_n+t)$，
即$a_{n+1}=2a_n+t$，所以$t=1$，
即$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，
所以数列$\{a_n+1\}$是以2为首项，2为
公比的等比数列．
所以$a_n+1=2×2^{n-1}=2^n$，
所以$a_n=2^n-1$．

跟踪训练 1 已知数列$\{ a_n \}$满足$ a_{n + 1} = 2a_n + 2 $且$ a_1 = 1 $，则(D)

A.$\{ a_n \}$是等差数列
B.$\{ a_n \}$是等比数列
C.$\{ a_n + 1 \}$是等比数列
D.$\{ a_n + 2 \}$是等比数列

答案： D

例 2 已知数列$\{ a_n \}$满足$ a_n = 2a_{n - 1} + 2^n (n \geq 2) $，且$ a_1 = 1 $，求数列$\{ a_n \}$的通项公式.

答案： 解 因为$a_n=2a_{n-1}+2^n$，等式两
边同时除以$2^n$，得$\frac{a_n}{2^n}=\frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}+1$，
即$\frac{a_n}{2^n}-\frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}=1$，又$\frac{a_1}{2}=\frac{1}{2}$，
所以$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是以$\frac{1}{2}$为首项，以1为公差
的等差数列，
即$\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}+(n-1)×1=n-\frac{1}{2}$，
所以$a_n=(n-\frac{1}{2})×2^n$．