《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

延伸探究
将本例(2)的条件“$ S_n = 2n^2 - 30n $”改为“$ S_n = 2n^2 - 30n + 1 $”，其他条件不变，求 $ a_n $。
反思感悟：

答案： 解 因为 $S_{n} = 2n^{2} - 30n + 1$，
所以当 $n = 1$ 时，
$a_{1} = S_{1} = 2 × 1^{2} - 30 × 1 + 1 = - 27$，
当 $n \geq 2$ 时，$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 2n^{2} + 3n + 2 - [2(n - 1)^{2} + 3(n - 1) + 2] = 4n + 1$，
又 $a_{1} = 7$ 不适合上式，
所以 $a_{n} = \begin{cases} 7,n = 1, \\ 4n + 1,n \geq 2. \end{cases}$

（1）已知数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和 $ S_n $ 满足 $ S_n = 2n^2 + 3n + 2 $，求 $ a_n $。
（2）已知数列 $ \{ a_n \} $ 满足 $ a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ·s + na_n = 2^n $，求 $ a_n $。

答案：
(1)解 当 $n = 1$ 时，
$a_{1} = S_{1} = 7$，
当 $n \geq 2$ 时，$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 2n^{2} + 3n + 2 - [2(n - 1)^{2} + 3(n - 1) + 2] = 4n + 1$，
又 $a_{1} = 7$ 不适合上式，
所以 $a_{n} = \begin{cases} 7,n = 1, \\ 4n + 1,n \geq 2. \end{cases}$
(2)解 当 $n = 1$ 时，由已知可得 $a_{1} = 2^{1} = 2$.
由 $a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + ·s + na_{n} = 2^{n}$， ①
可得当 $n \geq 2$ 时，$a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + ·s + (n - 1)a_{n - 1} = 2^{n - 1}$， ②
由 ① - ② 得 $na_{n} = 2^{n} - 2^{n - 1} = 2^{n - 1}(n \geq 2)$，
所以 $a_{n} = \frac{2^{n - 1}}{n}(n \geq 2)$. 显然 $a_{1} = 2$ 不适合上式，
所以 $a_{n} = \begin{cases} 2,n = 1, \\ \frac{2^{n - 1}}{n},n \geq 2. \end{cases}$

观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
(1)近 5 届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022；
(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…；
(3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内 5 名男生 1 分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10.
以上数列有什么共同特征？

答案： 对于
(1)，我们发现2010 - 2006 = 4，2014 - 2010 = 4，2018 - 2014 = 4，2022 - 2018 = 4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。对于
(2)有44 - 45 = -1，43 - 44 = -1，⋯。对于
(3)，10 - 10 = 0，有同样的取值规律。