《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

利用导数判断下列函数的单调性。
(1)$f(x)=x^{2}-2x + a\ln x(a ＞ \frac{1}{2})$；
(2)$f(x)=\frac{\ln x}{x}(x ＞ e)$。

答案： 解　
(1)因为f(x)=x²−2x+alnx，x∈(0,+∞)，所以f'(x)=2x−2+$\frac{a}{x}$=$\frac{2x²−2x+a}{x}$，对于y=2x²−2x+a，a＞$\frac{1}{2}$，Δ=4−8a=8($\frac{1}{2}$−a)＜0，故有y=2x²−2x+a＞0恒成立，即f'(x)＞0，所以f(x)=x²−2x+alnx在(0,+∞)上单调递增。
(2)因为f(x)=$\frac{lnx}{x}$，x＞e，所以f'(x)=$\frac{x(lnx)'−x'lnx}{x²}$=$\frac{1−lnx}{x²}$＜0，所以f(x)=$\frac{lnx}{x}$在(e,+∞)上单调递减。

求下列函数的单调区间。
(1)$f(x)=3x^{2}-2\ln x$；
(2)$f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x + 1$。
反思感悟：

答案： 解　
(1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞)。f'(x)=6x−$\frac{2}{x}$=$\frac{6x²−2}{x}$=$\frac{2(\sqrt{3}x+1)(\sqrt{3}x−1)}{x}$，令f'(x)=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍去），x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$把函数f(x)的定义域划分为两个区间，f'(x)在各区间上的正负以及f(x)的单调性如表所示：
x　　(0,$\frac{\sqrt{3}}{3}$)　　$\frac{\sqrt{3}}{3}$　　($\frac{\sqrt{3}}{3}$,+∞)
f′(x)　　-　　　　0　　　　+
f(x)　单调递减　极小值　单调递增
故函数f(x)的单调递减区间为(0,$\frac{\sqrt{3}}{3}$)，单调递增区间为($\frac{\sqrt{3}}{3}$,+∞)。
(2)f'(x)=6x²+6x−36 =6(x+3)(x−2)。令f'(x)=0，解得x=-3或x=2，x=-3和x=2把函数的定义域划分为三个区间，f'(x)在各个区间上的正负以及f(x)的单调性如表：
x　(-∞,-3)　-3　(-3,2)　2　(2,+∞)
f'(x)　+　0　-　0　+
f(x)　单调递增　极大值　单调递减　极小值　单调递增
故f(x)的单调递增区间是(-∞,-3)，(2,+∞)；单调递减区间是(-3,2)。

求下列函数的单调区间。
(1)$f(x)=x^{2}· e^{-x}$；
(2)$f(x)=x+\frac{1}{x}$。

答案： 解　
(1)易知函数的定义域为R。f'(x)=(x²)'e^(-x)+x²(e^(-x))'=2xe^(-x)-x²e^(-x)=e^(-x)·(2x-x²)，令f'(x)=0，得x=0或x=2，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表：
x　(-∞,0)　0　(0,2)　2　(2,+∞)
f'(x)　-　0　+　0　-
f(x)　单调递减　极小值　单调递增　极大值　单调递减
所以f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调递增区间为(0,2)。
(2)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)。f'(x)=1−$\frac{1}{x²}$，令f'(x)=0，得x=-1或x=1，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表：
x　(-∞,-1)　-1　(-1,0)　(0,1)　1　(1,+∞)
f'(x)　+　0　-　0　+
f(x)　单调递增　极大值　单调递减　极小值　单调递增
所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1)，单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)。