《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

(1) 在 $ 14 $ 与 $ \frac{7}{8} $ 之间插入 $ n $ 个数，组成所有项的和为 $ \frac{77}{8} $ 的等比数列，求此数列的项数.
(2) ① 若 $ a_{2} - a_{1} = 1 $，$ a_{3} - a_{1} = 3 $，求等比数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和 $ S_{n} $；
② 已知 $ S_{4} = 1 $，$ S_{8} = 17 $，求等比数列$\{ a_{n}\}$的通项.

答案：
(1)解 设此数列的公
比为$q$，易知$q\neq1$，
则$\begin{cases}\frac{7}{8}=14q^{n+1},\\ \frac{77}{8}=\frac{14(1-q^{n+2})}{1-q}\end{cases}$解得$\begin{cases}q=-\frac{1}{2},\\n=3,\end{cases}$
故此数列共有$5$项.
(2)解 ①设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为
$q$，由已知，
得$\begin{cases}a_{2}-a_{1}=a_{1}(q-1)=1,\\a_{3}-a_{2}=a_{1}(q^{2}-1)=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_{1}=1,\\q=2,\end{cases}$
所以$S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=2^{n}-1$.
②若$q=1$，则$S_{8}=2S_{4}$，不符合题意，
所以$q\neq1$，
所以$S_{4}=\frac{a_{1}(1-q^{4})}{1-q}=1$，
$S_{8}=\frac{a_{1}(1-q^{8})}{1-q}=17$，
两式相除得$\frac{1-q^{8}}{1-q^{4}}=17=1+q^{4}$，
解得$q=2$或$q=-2$.
当$q=2$时，$a_{1}=\frac{1}{15}$；
当$q=-2$时，$a_{1}=-\frac{1}{5}$，
所以$a_{n}=\frac{1}{15}×2^{n-1}$或
$a_{n}=-\frac{1}{5}×(-2)^{n-1}$.

你能发现等比数列前 $ n $ 项和公式 $ S_{n} = \frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q} (q \neq 1) $ 的函数特征吗？

答案： $S_{n}=\frac{a_{1}-a_{1}q^{n}}{1-q}=\frac{a_{1}}{1-q}q^{n}+$
$\frac{a_{1}}{1-q}$，设$A=\frac{a_{1}}{1-q}$，
则$S_{n}=Aq^{n}-A$.

1. 当公比 $ q \neq 1 $ 时，设 $ A = \frac{a_{1}}{q - 1} $，等比数列的前 $ n $ 项和公式是 $ S_{n} = $$Aq^{n}-A$. 即 $ S_{n} $ 是 $ n $ 的指数型函数.

答案： 1. $Aq^{n}-A$