《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

2. 当公比 $ q = 1 $ 时，因为 $ a_{1} \neq 0 $，所以 $ S_{n} = $$na_{1}$，$ S_{n} $ 是 $ n $ 的正比例函数.

答案： 2. $na_{1}$

数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和 $ S_{n} = 3^{n} - 2 $. 求$\{ a_{n}\}$的通项公式，并判断$\{ a_{n}\}$是否是等比数列.

答案： 方法一 当$n\geq2$时，
$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=(3^{n}-2)-(3^{n-1}-2)$
$=2×3^{n-1}$.
当$n=1$时，$a_{1}=S_{1}=3^{1}-2=1$不适
合上式.
所以$a_{n}=\begin{cases}1,n=1,\\2×3^{n-1},n\geq2.\end{cases}$
由于$a_{1}=1,a_{2}=6,a_{3}=18$，显然$a_{1}$，
$a_{2},a_{3}$不是等比数列，即$\{a_{n}\}$不是等
比数列.
方法二 由等比数列$\{b_{n}\}$的公比$q\neq1$
时的前$n$项和$S_{n}=Aq^{n}+B$满足的条
件为$A=-B$，对比可知$S_{n}=3^{n}-2$，
$2\neq1$，故$\{a_{n}\}$不是等比数列.

延伸探究
1. 若将本题改为数列$\{ a_{n}\}$是等比数列，且其前 $ n $ 项和为 $ S_{n} = 3^{n + 1} - 2k $，则实数 $ k = $$\frac{3}{2}$.
2. 若将本题改为数列$\{ a_{n}\}$是等比数列，且其前 $ n $ 项和为 $ S_{n} = a · (\frac{1}{3})^{n - 1} + 5 $，则实数 $ a = $$-\frac{5}{3}$.
反思感悟：

答案： 1. $\frac{3}{2}$
解析 因为$S_{n}=3^{n+1}-2k=3×3^{n}-$
$2k$，且$\{a_{n}\}$为等比数列，
所以$3-2k=0$，即$k=\frac{3}{2}$.
2. $-\frac{5}{3}$
解析 由$S_{n}=a·(\frac{1}{3})^{n-1}+5$，
可得$S_{n}=3a·(\frac{1}{3})^{n}+5$，
依题意有$3a+5=0$，故$a=-\frac{5}{3}$.

若数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和 $ S_{n} = t^{n} - 1 $ ($ t \in \mathbf{R} $)，则此数列是(D)

A.等差数列
B.等比数列
C.等差数列或等比数列
D.以上说法均不对

答案： D