《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

求函数 $ y = x - \frac{1}{x} $ 在 $ x = 1 $ 处的导数。
反思感悟：

答案： 解 因为$\Delta y=(1+\Delta x)-\frac{1}{1+\Delta x}-(1-\frac{1}{1})=\Delta x+\frac{\Delta x}{1+\Delta x}$，所以$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x+\frac{\Delta x}{1+\Delta x}}{\Delta x}=1+\frac{1}{1+\Delta x}$，所以$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}(1+\frac{1}{1+\Delta x})=2$.从而$y'\big|_{x=1}=2$.

(1) $ y = f(x) = x^2 $ 在 $ x = 1 $ 处的导数为(B)
A. $ 2x $
B. $ 2 $
C. $ 2 + \Delta x $
D. $ 1 $
(2) 已知 $ y = f(x) = \frac{2}{x} $，且 $ f'(m) = -\frac{1}{2} $，则 $ m $ 等于(D)
A. $ -4 $
B. $ 2 $
C. $ -2 $
D. $ \pm 2 $

答案：
(1)B
(2)D

某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润 $ c $（单位：万元）与产量 $ x $（单位：千台）之间的关系式为 $ y = c(x) = -2x^2 + 7x + 6 $。求 $ c'(1) $ 与 $ c'(2) $，并说明它们的实际意义。
反思感悟：

答案： 解 设$x=1$时产量的改变量为$\Delta x$，则$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{c(1+\Delta x)-c(1)}{\Delta x}=\frac{-2(\Delta x)^{2}+3\Delta x}{\Delta x}=-2\Delta x+3$，$c'(1)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}(-2\Delta x+3)=3$，设$x=2$时产量的改变量为$\Delta x$，则$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{c(2+\Delta x)-c(2)}{\Delta x}=\frac{-2(\Delta x)^{2}-\Delta x}{\Delta x}=-2\Delta x-1$，$c'(2)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}(-2\Delta x-1)=-1$.
$c'(1)$的实际意义：当产量为1000台时，多生产1台旋切机大约多获利3万元；
$c'(2)$的实际意义：当产量为2000台时，多生产1台旋切机大约少获利1万元.