《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

问题1 在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度$h$(单位:m)与起跳后的时间$t$(单位:s)存在函数关系$h(t)=-4.9t^2+2.8t+11$,根据上述探究,你能求该运动员在$0\leqslant t\leqslant0.2,1\leqslant t\leqslant1.5,0\leqslant t\leqslant\frac{4}{7}$内的平均速度吗?

答案： 当$0\leqslant t\leqslant0.2$时，
$\frac{\overline{v}}{}=\frac{h(0.2)-h(0)}{0.2-0}=1.82(m/s)$；
当$1\leqslant t\leqslant1.5$时，
$\frac{\overline{v}}{}=\frac{h(1.5)-h(1)}{1.5-1}=-9.45(m/s)$；
当$0\leqslant t\leqslant\frac{4}{7}$时，
$\frac{\overline{v}}{}=\frac{h(\frac{4}{7})-h(0)}{\frac{4}{7}-0}=0(m/s)$，
虽然运动员在$0\leqslant t\leqslant\frac{4}{7}$这段时间里的平均速度是$0m/s$，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态。

例1 某物体运动的位移$s$与时间$t$之间的函数关系式为$s(t)=\sin t$,$t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.
(1)分别求$s(t)$在区间$\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$和$\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$上的平均速度;
(2)比较(1)中两个平均速度的大小,说明其几何意义.
反思感悟:.

答案：
解　
(1)物体在区间$\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$上的平均速度为
$\frac{\overline{v_1}}{}=\frac{s(\frac{\pi}{4})-s(0)}{\frac{\pi}{4}-0}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-0}{\frac{\pi}{4}}=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$
物体在区间$\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$上的平均速度为
$\frac{\overline{v_2}}{}=\frac{s(\frac{\pi}{2})-s(\frac{\pi}{4})}{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\pi}{4}}=\frac{4-2\sqrt{2}}{\pi}$
(2)由
(1)可知
$\frac{\overline{v_1}}{}-\frac{\overline{v_2}}{}=\frac{4\sqrt{2}-4}{\pi}＞0$，所以$\frac{\overline{v_2}}{}＜\frac{\overline{v_1}}{}$.作出函数$s(t)=\sin t$在$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的图象，可以发现，$s(t)=\sin t$在$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上随着$t$的增大，函数值$s(t)$变化得越来越慢。

跟踪训练1 一质点按运动方程$s(t)=\frac{1}{t}$作直线运动,则其从$t_1=1$到$t_2=2$的平均速度为
(B)

A.$-1$　　
B.$-\frac{1}{2}$　　
C.$-2$　　
D.$2$

答案： B

问题2 我们也发现了高速路上区间测速的弊端,因为如果某人发现超速了,他只需踩下刹车,让车辆低速行驶一段时间即可,你认为,我们应该如何改进高速路上的区间测速问题?

答案： 由$\frac{\overline{v}}{}=\frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}$可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程，这样似乎都不可避免违法行为的发生，于是，我们有了一个大胆的想法，如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了。我们把函数值的增量$f(t_2)-f(t_1)$记为$\Delta y$，即$\Delta y=f(t_2)-f(t_1)$，自变量的增量$t_2-t_1$记为$\Delta t$，即$\Delta t=t_2-t_1$，这里的$\Delta t$可以看成是$t_1$的一个增量，可用$t_1+\Delta t$来表示$t_2$，则平均速度可记为$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{f(t_1+\Delta t)-f(t_1)}{\Delta t}$，我们发现如果时间的增量$\Delta t$无限小，此时在极短的时间内的平均速度就可近似等于在时间$t=t_1$的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让$\Delta t$无限趋近于0。