《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

延伸探究
1. 将本例中“$ a_n = 2a_{n - 1} + 2^n $”变为“$ a_n = 2a_{n - 1} + 2^{n + 1} $”，其余不变，求数列$\{ a_n \}$的通项公式.
2. 将本例中“$ a_n = 2a_{n - 1} + 2^n $”变为“$ a_n = 2a_{n - 1} + 2^{n - 1} $”，其余不变，求数列$\{ a_n \}$的通项公式.
反思感悟：

答案： 1.解 等式两边同时除以$2^n$，
得$\frac{a_n}{2^n}=\frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}+2$，即$\frac{a_n}{2^n}-\frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}=2$，
又$\frac{a_1}{2}=\frac{1}{2}$，所以$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是以$\frac{1}{2}$为首项，
以2为公差的等差数列，
所以$\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}+(n-1)×2=2n-\frac{3}{2}$，
即$a_n=(2n-\frac{3}{2})×2^n$．
2.解 等式两边同时除以$2^n$，
得$\frac{a_n}{2^n}=\frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}+\frac{1}{2}$，即$\frac{a_n}{2^n}-\frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}=\frac{1}{2}$，
又$\frac{a_1}{2}=\frac{1}{2}$，所以$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是以$\frac{1}{2}$为首项，
以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
所以$\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}+(n-1)×\frac{1}{2}=\frac{n}{2}$，
即$a_n=n×2^{n-1}$．

跟踪训练 2 已知数列$\{ a_n \}$满足$ \frac{1}{a_n} = \frac{1}{2a_{n - 1}} + \frac{1}{2^n} $，且$ a_1 = 1 $，求数列$\{ a_n \}$的通项公式.

答案： 解 由题意，等式两边
同乘$2^n$，得$\frac{2^n}{a_n}-\frac{2^{n-1}}{a_{n-1}}=1$，
即$\frac{2^n}{a_n}-\frac{2^{n-1}}{a_{n-1}}=1$，
所以$\{\frac{2^n}{a_n}\}$是以2为首项，1为公差的
等差数列，
所以$\frac{2^n}{a_n}=2+(n-1)×1=n+1$，
即$a_n=\frac{2^n}{n+1}$．

例 3 已知数列$\{ a_n \}$中，$ a_1 = 6 $，$ a_{n + 1} = 2a_n + 3^{n + 1} $，求$ a_n $.
反思感悟：

答案： 解 令$a_{n+1}-A·3^{n+1}=2(a_n-A·3^n)$，
则$a_{n+1}=2a_n+\frac{A}{3}·3^{n+1}$，
由已知，$\frac{A}{3}=1$，得$A=3$，
所以$a_{n+1}-3×3^{n+1}=2(a_n-3^n3^n)$，
即$a_{n+1}-3^{n+2}=2(a_n-3^{n+1})$，
又$a_1-3^2=6-9=-3\neq0$，
所以$\{a_n-3^{n+1}\}$是首项为$-3$，公比为
2的等比数列，
于是$a_n-3^{n+1}=-3×2^{n-1}$，
故$a_n=3^{n+1}-3×2^{n-1}$．