《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

1. (人 A 选必一 P120 例 1 改)已知平面内两定点 $ A(-5,0) $，$ B(5,0) $，若动点 $ M $ 满足 $ |MA|-|MB|=6 $，则点 $ M $ 的轨迹方程是(D)

A.$ \dfrac{x^{2}}{16}-\dfrac{y^{2}}{9}=1 $
B.$ \dfrac{x^{2}}{16}-\dfrac{y^{2}}{9}=1(x\geqslant4) $
C.$ \dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{16}=1 $
D.$ \dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{16}=1(x\geqslant3) $

答案： 1.D

2. (多选)下列双曲线的渐近线方程为 $ y=\pm\dfrac{1}{2}x $ 的是(AD)

A.$ \dfrac{x^{2}}{4}-y^{2}=1 $
B.$ \dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{2}=1 $
C.$ \dfrac{y^{2}}{4}-x^{2}=1 $
D.$ \dfrac{y^{2}}{4}-\dfrac{x^{2}}{16}=1 $

答案： 2.AD

3. (多选)已知双曲线 $ C $ 过点 $ (3,\sqrt{2}) $ 且渐近线方程为 $ y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}x $，则下列结论正确的是(AC)

A.双曲线 $ C $ 的方程为 $ \dfrac{x^{2}}{3}-y^{2}=1 $
B.双曲线 $ C $ 的离心率为 $ \sqrt{3} $
C.曲线 $ y=e^{x - 2}-1 $ 经过 $ C $ 的一个焦点
D.直线 $ x-\sqrt{3}y - 1 = 0 $ 与 $ C $ 有两个公共点

答案： 3.AC　[解析]对于A,由双曲线的渐近线方程为$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$，可设双曲线方程为$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=\lambda(\lambda\neq0)$，把点$(3,\sqrt{2})$代入，得$\frac{9}{3}-2=\lambda$，即$\lambda=1$，所以双曲线C的方程为$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$，故A正确；对于B,由$a^{2}=3$，$b^{2}=1$，得$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2$，所以双曲线C的离心率为$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故B错误；对于C,令$x - 2 = 0$，得$x = 2$，则$y = 0$，曲线$y=e^{x - 2}-1$过C的右焦点$(2,0)$，故C正确；对于D,双曲线的渐近线方程为$x\pm\sqrt{3}y=0$，直线$x-\sqrt{3}y - 1 = 0$与双曲线的一条渐近线平行，所以直线$x-\sqrt{3}y - 1 = 0$与C有$1$个公共点，故D错误.

4. (人 A 选必一 P127 习题 6)经过点 $ A(4,1) $，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{15}-\frac{y^{2}}{15}=1$.

答案： 4.$\frac{x^{2}}{15}-\frac{y^{2}}{15}=1$　[解析]设等轴双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{a}-\frac{y^{2}}{a}=1$，把点A$(4,1)$代入，得$a = 15$，故所求方程为$\frac{x^{2}}{15}-\frac{y^{2}}{15}=1$.

5. (人 A 选必一 P127 练习 3)若直线 $ y=\dfrac{2}{3}x $ 与双曲线 $ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{8}=1(a\gt0) $ 相交于 $ A $，$ B $ 两点，且 $ A $，$ B $ 两点的横坐标之积为 $ -9 $，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{21}}{3}$.

答案： 5.$\frac{\sqrt{21}}{3}$　[解析]联立$\begin{cases}y=\frac{2}{3}x\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{8}=1\end{cases}$消去$y$得$(\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{18})x^{2}-1 = 0$，设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$x_{1}· x_{2}=\frac{-1}{\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{18}}=\frac{18a^{2}}{a^{2}-18}=-9$，解得$a^{2}=6$，所以离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{8}{6}}=\frac{\sqrt{21}}{3}$.