《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例1 已知$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，且$a_{n}＞0$，$a_{n}^{2}+2a_{n}=4S_{n}+3$，$b_{n}=a_{2n - 1}$，$c_{n}=3n$。
（1）求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）将数列$\{ b_{n}\}$与$\{ c_{n}\}$的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列$\{ d_{n}\}$，求$\{ d_{n}\}$的前10项和。

答案：
(1)由$a_{n}^{2}+2a_{n}=4S_{n}+3$，可知$a_{n + 1}^{2}+2a_{n + 1}=4S_{n + 1}+3$，两式相减得$a_{n + 1}^{2}-a_{n}^{2}+2(a_{n + 1}-a_{n})=4a_{n + 1}$，即$(a_{n + 1}+a_{n})(a_{n + 1}-a_{n})=2(a_{n + 1}+a_{n})$.因为$a_{n}＞0$，所以$a_{n + 1}+a_{n}＞0$，所以$a_{n + 1}-a_{n}=2$.由$a_{1}^{2}+2a_{1}=4S_{1}+3$，$a_{1}＞0$，解得$a_{1}=3$，故$\{a_{n}\}$是首项为3，公差为2的等差数列，所以$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=3 + 2(n - 1)=2n + 1$.
(2)由
(1)知$b_{n}=4n - 1$，数列$\{b_{n}\}$与$\{c_{n}\}$的公共项满足$b_{n}=c_{k}$，即$4n - 1=3k$，$k=\frac{4n - 1}{3}=n+\frac{n - 1}{3}$，而$k,n\in N^{*}$，于是得$\frac{n - 1}{3}=m - 1(m\in N^{*})$，即$n = 3m - 2$，此时$k = 4m - 3$，$m\in N^{*}$，所以$b_{3m - 2}=c_{4m - 3}=12m - 9$，即$d_{n}=12n - 9$，数列$\{d_{n}\}$是以3为首项，12为公差的等差数列，则$\{d_{n}\}$的前10项和$T_{10}=10×3+\frac{10×9}{2}×12 = 570$.

变式1 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=\frac{3n^{2}+n}{2}$，$\{ b_{n}\}$为等比数列，公比为2，且$b_{1}$，$b_{2}+1$，$b_{3}$为等差数列。
（1）求$\{ a_{n}\}$与$\{ b_{n}\}$的通项公式；
（2）将数列$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$的公共项由小到大排成数列$\{ c_{n}\}$，求数列$\{ c_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$。

答案：
(1)当$n = 1$时，$a_{1}=S_{1}=2$；当$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=3n - 1$.当$n = 1$时，上式也成立，所以$a_{n}=3n - 1$.依题意得$b_{1}+b_{3}=2(b_{2}+1)$，即$b_{1}+2^{2}b_{1}=2(2b_{1}+1)$，解得$b_{1}=2$，所以$b_{n}=2^{n}$.
(2)数列$\{a_{n}\}$和$\{b_{n}\}$的公共项从小到大依次为$2^{1},2^{3},2^{5},2^{7}$，$·s$，因为$2^{1},2^{3},2^{5},2^{7}$，$·s$构成首项为2，公比为4的等比数列，所以$c_{n}=2×4^{n - 1}$，则$T_{n}=c_{1}+c_{2}+·s + c_{n}=\frac{2(1 - 4^{n})}{1 - 4}=\frac{2}{3}(4^{n}-1)$.