《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

变式1
(1)如图,在$\triangle ABC$中,$N$是$AC$上的一点,且$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{NC},P$是$BN$上的一点,设$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+\frac{2}{11}\overrightarrow{AC}$,则实数$m$的值为$\frac{3}{11}$.

答案： 变式1
(1)$\frac{3}{11}$　[解析]在$\triangle ABC$中，由$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{NC}$得$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。因为$P$是$BN$上的一点，所以$\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BN}$，$\lambda\in\mathbf{R}$，即$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=\lambda(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB})$，$\overrightarrow{AP}=(1 - \lambda)\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AN}=(1 - \lambda)\overrightarrow{AB}+\frac{\lambda}{4}\overrightarrow{AC}$。又$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+\frac{2}{11}\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$不共线，所以$\begin{cases}m=1-\lambda\frac{\lambda}{4}=\frac{2}{11}\end{cases}$，解得$m=\frac{3}{11}$。

(2)如图,边长为$2$的等边三角形$ABC$的外接圆为圆$O,P$为圆$O$上任一点,若$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$,则$2x+2y$的最大值为 (A)


A.$\frac{8}{3}$
B.$2$
C.$\frac{4}{3}$
D.$1$

答案：
变式1
(2)A[解析]如图，过点$P$作$BC$的平行线，与直线$AB$相交于点$E$，与直线$AC$相交于点$F$，设$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AE}+\mu\overrightarrow{AF}$，则$\lambda + \mu = 1$。因为$BC// EF$，所以设$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=k$，则$k\in[0,\frac{4}{3}]$，所以$\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}=k\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AE}+\mu\overrightarrow{AF}=\lambda k\overrightarrow{AB}+\mu k\overrightarrow{AC}$，所以$x=\lambda k$，$y=\mu k$，所以$2x + 2y=2(\lambda+\mu)k=2k\leq\frac{8}{3}$。
　　

例 2-1 (多选)蜜蜂的巢房是严格的六角柱状体,它的一端是平整的六角形开口,另一端是封闭的六角菱形的底(由三个相同的菱形组成).如图所示是一个蜂巢的正六边形开口$ABCDEF$,它的边长为$1$,点$P$是$\triangle DEF$内部(包括边界)的动点,则 (AD)


A.$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
B.$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}=\frac{3}{4}$
C.若$P$为$EF$的中点,则$\overrightarrow{CP}$在$\overrightarrow{EC}$上的投影向量为$-\sqrt{3}\overrightarrow{EC}$
D.$|\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FP}|$的最大值为$\sqrt{7}$

答案：
例2 - 1　AD　[解析]对于A，因为$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FE}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，故A正确；对于C，由题意可知$CE\perp EF$，若$P$为$EF$的中点，则$\overrightarrow{CP}$在$\overrightarrow{EC}$上的投影向量为$-\overrightarrow{EC}$，故C错误；对于B，D，如图，建立平面直角坐标系，则$A(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$，$B(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$，$C(1,0)$，$D(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$E(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$F(-1,0)$，可得$\overrightarrow{AC}=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$\overrightarrow{BD}=(0,\sqrt{3})$，所以$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}=\frac{3}{2}$，故B错误；设$P(x,y)$，可知$-1\leq x\leq\frac{1}{2}$，$0\leq y\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\overrightarrow{FE}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$\overrightarrow{FP}=(x + 1,y)$，可得$\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FP}=(x+\frac{3}{2},y+\frac{\sqrt{3}}{2})$，则$\vert\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FP}\vert=\sqrt{(x+\frac{3}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$，可知当$x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即点$P$与点$D$重合时，$\vert\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FP}\vert$的最大值为$\sqrt{7}$，故D正确。