《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例1 (1)(2025·湛江二模)某林业科学院培育新品种草莓,新培育的草莓单果质量$\xi$(单位:$g$)近似服从正态分布$N(50,4)$,现有该新品种草莓10000个,估计其中单果质量超过52g的草莓有(C)

A.228个
B.456个
C.1587个
D.3174个

答案： 例1
(1)C【解析】由$\xi \sim N(50,4)$可知$\mu = 50$，$\sigma = 2$，则$P(\xi ＞ 52) = \frac{1}{2}[1 - P(\mu - \sigma \leq \xi \leq \mu + \sigma)] \approx 0.15865$，故其中单果质量超过52g的草莓约有$10000 × 0.15865 \approx 1587$个。

(2)(2025·厦门一模)已知随机变量$X$服从正态分布$N(1,\sigma^2)$,若$P(X\leqslant a)=0.3$,且$P(a\leqslant X\leqslant a + 2)=0.4$,则$a=$(C)

A.$-1$
B.$-\frac{1}{2}$
C.0
D.$\frac{1}{2}$

答案：
例1
(2)C【解析】由题意知随机变量$X$服从正态分布$N(1,\sigma^{2})$，$P(X \leq a) = 0.3$，如图，结合$P(a \leq X \leq a + 2) = 0.4$，得$P(X \geq a + 2) = 0.3$，可知$a$，$a + 2$关于$x = 1$对称，所以$a + a + 2 = 2 × 1$，解得$a = 0$。

例2 (2025·泰州一模)某校随机调查了100名同学的日运动时间(单位:分钟),得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求该100名同学的平均日运动时间;
(2)为进一步调查运动方式,采用分层随机抽样的方式从日运动时间在$[50,60)$,$[60,70)$,$[80,90)$内的同学中抽取10人,再从中任选3人进行调查,求抽到日运动时间在$[60,70)$内的人数$X$的分布列和数学期望.
]

答案：
例2【解答】
(1)由题意得$(0.010 + 0.020 + a + 0.020 + 0.005) × 10 = 1$，所以$a = 0.045$，所以该100名同学的平均日运动时间为$0.1×55 + 0.2×65 + 0.45×75 + 0.2×85 + 0.05×95 = 74$（分钟）。
(2)抽取的日运动时间在$[50,60)$，$[60,70)$，$[80,90)$内的同学人数分别为2,4,4，所以$X$可取0,1,2,3，则$P(X = 0) = \frac{C_{4}^{3}C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{6}$，$P(X = 1) = \frac{C_{4}^{3}C_{6}^{2}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{2}$，$P(X = 2) = \frac{C_{4}^{2}C_{6}^{1}}{C_{10}^{3}} = \frac{3}{10}$，$P(X = 3) = \frac{C_{4}^{3}C_{6}^{0}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{30}$，所以$X$的分布列为

故$E(X) = 0 × \frac{1}{6} + 1 × \frac{1}{2} + 2 × \frac{3}{10} + 3 × \frac{1}{30} = \frac{6}{5}$。