《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例4 (2025·聊城期末改)阿尔法狗(AlphaGo)是第一款战胜了围棋世界冠军的人工智能围棋程序。它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策。工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗(AlphaGo)，三个阶段的阿尔法狗(AlphaGo)依次简记为甲、乙、丙。
(1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗(AlphaGo)各比赛一局，各局比赛结果相互独立。已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$。记该棋手连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程。
(2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛。已知每局比赛中，甲获胜的概率为$\frac{1}{3}$，乙获胜的概率为$\frac{2}{3}$，且每局比赛结果相互独立。
①若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)；
②若比赛不限制局数，设“甲赢得比赛”为事件M，求P(M)。

答案：
(1)该棋手在第二局与甲比赛$p$最大，理由如下：
该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}$，记$p_1=\frac{1}{2},p_2=\frac{1}{3},p_3=\frac{1}{4}$，该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.记该
棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为$p_甲$，比赛顺序为乙甲
丙及丙甲乙的概率均为$\frac{1}{2}$，则$p_甲=\frac{1}{2}[(1-p_2)p_1p_3+p_2p_1·(1-p_3)]+\frac{1}{2}[(1-p_3)p_1p_2+p_3p_1(1-p_2)]=p_1(p_2+p_3)-2p_1p_2p_3=\frac{5}{24}$，同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概
率$p_Z=p_2(p_1+p_3)-2p_1p_2p_3=\frac{1}{6}$，该棋手在第二盘与丙比赛连
胜两局的概率$p_丙=p_3(p_1+p_2)-2p_1p_2p_3=\frac{1}{8}$。因为$p_甲＞p_Z＞p_丙$，所以该棋手在第二局与甲比赛$p$最大.
(2)①因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获
胜”。由题意得$X$的所有可能取值为$2,4,5$，$P(X=2)=\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{5}{9}$，$P(X=4)=\left(\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}\right)×\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}\right)×\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{20}{81}$，$P(X=5)=\left(\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}\right)×\left(\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}\right)×\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}\right)×\left(\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}\right)×\frac{2}{3}=\frac{16}{81}$，所以$X$的分布列为
$\begin{array}{c|c|c|c}X&2&4&5\\\hline P&\frac{5}{9}&\frac{20}{81}&\frac{16}{81}\end{array}$
所以$X$的期望为$E(X)=2×\frac{5}{9}+4×\frac{20}{81}+5×\frac{16}{81}=\frac{250}{81}$。
②设事件$A,B$分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”。由题知甲
最后赢得比赛的局数是偶数，由题设可知前两局比赛结果可能是
$AA,BB,AB,BA$，其中事件$AA$表示“甲赢得比赛”，事件$BB$表
示“乙赢得比赛”，事件$AB,BA$表示“甲、乙各得1分”，当甲、乙
得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比
赛的概率相同，所以$P(M)=P(AA)×1+P(BB)×0+P(AB)× P(M)+P(BA)· P(M)=P(A)P(A)+P(A)P(B)·P(M)+P(B)P(A)P(M)=\left(\frac{1}{3}\right)^2+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}P(M)+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}P(M)=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}P(M)$，所以$P(M)=\frac{1}{5}$。