《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例1 (1)(2025·石家庄三模)已知随机事件$A$，$B$，$\overline{B}$表示事件$B$的对立事件，$P(A) = 0.4$，$P(B) = 0.6$，则下面结论正确的是(D)

A.事件$A$与$B$一定是对立事件
B.$P(A\cup B) = 1$
C.$P(AB) = 0.24$
D.若事件$A$，$B$相互独立，则$P(A\overline{B}) = 0.16$

答案： 例1
(1)D【解析】一个密封的盒子中有标号为1,2,3,4,5的5个小球，从中任取1球，记事件A=“从中取出球的标号为1或2”，事件B=“从中取出球的标号为1或2或3”，则$P(A)=0.4$，$P(B)=0.6$，满足$P(A)+P(B)=1$，但A，B不是对立事件，故A错误.$P(A∪B)=P(B)=0.6$，故B错误.$P(AB)=P(A)=0.4$，故C错误.对于D，若事件A，B相互独立，则事件A，B也相互独立，所以$P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})=P(A)·[1-P(B)]=0.4×(1-0.6)=0.16$，故D正确.

(2)(2025·汕尾、肇庆二模)小王数学期末考试考了$90$分，被爸爸表扬的概率为$\frac{1}{2}$，被妈妈表扬的概率也为$\frac{1}{2}$，假设小王被爸爸表扬和被妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为(C)
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$1$

答案：
(2)C【解析】记“小王被爸爸表扬”为事件A，“小王被妈妈表扬”为事件B，“小王被表扬”为事件D，小王被爸爸表扬和被妈妈表扬相互独立，则$P(D)=1-P(\overline{A})· P(\overline{B})=1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$.

变式1 投掷一枚质地均匀的骰子，事件$A =$“点数大于$2$”；事件$B =$“点数小于$4$”；事件$C =$“点数为偶数”，则下列说法正确的是(C)

A.$A$与$B$互斥
B.$A$与$B$对立
C.$A$与$C$独立
D.$B$与$C$独立

答案： 变式1C【解析】依题意，事件A={3,4,5,6}，事件B={1,2,3}，事件C={2,4,6}，所以A与B不是互斥事件，显然不可能是对立事件，故A，B错误.因为$AC=\{4,6\}$，所以$P(AC)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，又$P(A)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$P(C)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，所以$P(AC)=P(A)· P(C)$，所以A与C是独立事件，故C正确.因为$BC=\{2\}$，所以$P(BC)=\frac{1}{6}$，又$P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，所以$P(BC)\neq P(B)P(C)$，所以B与C不是独立事件，故D错误.

例2 (1)(2025·惠州三调)已知事件$A$发生的概率为$P(A)$，事件$B$发生的概率为$P(B)$，若$P(A)=\frac{3}{5}$，$P(\overline{B})=\frac{2}{3}$，$P(A\cup B)=\frac{11}{15}$，则事件$A$与事件$B$的关系为(C)

A.互斥
B.对立
C.独立
D.包含

答案： 例2
(1)C【解析】由概率公式可得$P(B)=1-P(\overline{B})=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，因为$P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，即$\frac{3}{5}+\frac{1}{3}-P(AB)=\frac{11}{15}$，所以$P(AB)=\frac{1}{5}$，故$P(AB)=P(A)P(B)$，因此事件A与事件B独立.

(2)(多选)(2025·南京期初)对于随机事件$A$，$B$，若$P(A)=\frac{2}{5}$，$P(B)=\frac{3}{5}$，$P(B|A)=\frac{1}{4}$，则(BCD)

A.$P(AB)=\frac{3}{20}$
B.$P(A|B)=\frac{1}{6}$
C.$P(A + B)=\frac{9}{10}$
D.$P(\overline{A}B)=\frac{1}{2}$

答案：
(2)BCD【解析】由$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{4}$，得$P(AB)=\frac{1}{10}$，故A错误；$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{10}×\frac{3}{1}=\frac{1}{6}$（此处原解析有误，按计算应为$\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{5}×\frac{1}{1}=\frac{3}{5}$的逆推错误，正确计算如上），故B正确；$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{2}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$，故C正确；由$P(B)=P(AB)+P(\overline{A}B)=\frac{1}{10}+P(\overline{A}B)=\frac{3}{5}$，得$P(\overline{A}B)=\frac{1}{2}$，故D正确.

变式2 已知事件$A$，$B$，如果$A$与$B$互斥，那么$P(AB)=p_{1}$；如果$A$与$B$相互独立，且$P(A)=0.6$，$P(B)=0.7$，那么$P(A+\overline{B})=p_{2}$，则$p_{1}$，$p_{2}$分别为(C)

A.$p_{1}=0$，$p_{2}=0.9$
B.$p_{1}=0.42$，$p_{2}=0.9$
C.$p_{1}=0$，$p_{2}=0.72$
D.$p_{1}=0.42$，$p_{2}=0.45$

答案： 变式2C【解析】如果事件A与B互斥，则$P(AB)=0$，所以$p_1=0$.如果事件A与B相互独立，则事件A与B也相互独立，所以$P(B)=1-P(\overline{B})=0.3$，$P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})=0.6×0.3=0.18$，$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.3-0.18=0.72$，即$p_2=0.72$.