《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例 1 (1)已知直线 $ l : ( m + n ) x + ( m - n ) y - 2 m = 0 ( m n \neq 0 ) $，圆 $ C : ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } = 8 $，则(B)

A.$ l $ 过定点 $ ( 1, - 1 ) $
B.$ l $ 与圆 $ C $ 一定相交
C.存在 $ m = 1 $，使得 $ l $ 平分圆 $ C $ 的周长
D.$ l $ 被圆 $ C $ 截得的最短弦的长度为 $ 4 $

答案： 例1　
(1)B　[解析]对于$A$，$l:(m + n)x + (m - n)y - 2m = 0 \Rightarrow m(x + y - 2) + n(x - y) = 0$，联立$\begin{cases}x + y - 2 = 0\\x - y = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$，所以$l$过定点$(1,1)$，故$A$错误.对于$B$，因为$l$过定点$(1,1)$，且$(1 - 2)^2 + (1 - 2)^2 ＜ 8$，所以定点$(1,1)$在圆$C$内，即$l$与圆$C$一定相交，故$B$正确.对于$C$，若$l$平分圆$C$的周长，则$l$过圆心$C(2,2)$，所以$(m + n)×2 + (m - n)×2 - 2m = 0$，即$m = 0$，显然$m \neq 0$，故不存在$m$，使得$l$平分圆$C$的周长，故$C$错误.对于$D$，当定点$(1,1)$为弦的中点时，弦长最短，此时圆心$(2,2)$到直线$l$的距离$d = \sqrt{(2 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{2}$，则弦长为$2\sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{6}$，故$D$错误.

(2)(多选)(2025·秦皇岛一模)在平面直角坐标系 $ x O y $ 中，圆 $ C : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 $，点 $ P $ 为直线 $ l : x - y - 2 = 0 $ 上的动点，则(ABD)

A.圆 $ C $ 上有且仅有两个点到直线 $ l $ 的距离为 $ \frac { 1 } { 2 } $
B.已知点 $ M ( 3, 2 ) $，$ N $ 为圆 $ C $ 上的动点，则 $ | P M | + | P N | $ 的最小值为 $ \sqrt { 17 } - 1 $
C.过点 $ P $ 作圆 $ C $ 的一条切线，切点为 $ Q $，$ \angle O P Q $ 可以为 $ 60 ^ { \circ } $
D.过点 $ P $ 作圆 $ C $ 的两条切线，切点为 $ M $，$ N $，则直线 $ M N $ 恒过定点 $ ( \frac { 1 } { 2 }, - \frac { 1 } { 2 } ) $

答案：
例1　
(2)ABD　[解析]由题意知，圆心$C(0,0)$到直线$l$的距离为$d = \frac{|-2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}$，圆$C$的半径为$1$.如图
(1)，由$\sqrt{2} - 1 ＜ \frac{1}{2} ＜ \sqrt{2} + 1$，知与直线$l$平行且与直线$l$距离为$\frac{1}{2}$的其中一条直线$l'$与圆相交，有两个公共点，另一条直线$l''$与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线$l$的距离为$\frac{1}{2}$，故$A$正确.如图
(2)，设点$M(3,2)$关于直线$x - y - 2 = 0$的对称点为$M'(x,y)$，则$\begin{cases}\frac{3 + x}{2} - \frac{2 + y}{2} - 2 = 0\frac{y - 2}{x - 3}×1 = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$，即$M'(4,1)$，则$|PM| + |PN| \geq |M'N| \geq |M'O| - 1 = \sqrt{4^2 + 1^2} - 1 = \sqrt{17} - 1$，即$|PM| + |PN|$的最小值为$\sqrt{17} - 1$，故$B$正确.由切点为$Q$，知$\angle OQP = 90^{\circ}$，则在$Rt\triangle OQP$中，$\sin\angle OPQ = \frac{|OQ|}{|OP|} = \frac{1}{|OP|}$，当$|OP|$取最小值时，$\sin\angle OPQ$取最大值，$\angle OPQ$最大，如图
(3)，过点$O$作$OP' \perp l$，垂足为$P'$，此时$|OP|$最小，最小值为$|OP'| = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，即$\sin\angle OPQ$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\angle OPQ$最大为$45^{\circ}$，不可能为$60^{\circ}$，故$C$错误.如图
(4)，设点$P(x_0,y_0)$，切点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，可得切线$MP$的方程为$x_1x + y_1y = 1$，由点$P$在切线上，得$x_1x_0 + y_1y_0 = 1$，同理可得$x_2x_0 + y_2y_0 = 1$，故点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$都在直线$x_0x + y_0y = 1$上，即直线$MN$的方程为$x_0x + y_0y = 1$.又点$P(x_0,y_0)$在直线$l:x - y - 2 = 0$上，所以$y_0 = x_0 - 2$，代入直线$MN$的方程并整理得$(x + y)x_0 - 2y - 1 = 0$，令$\begin{cases}x + y = 0\\-2y - 1 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{1}{2}\\y = -\frac{1}{2}\end{cases}$，即直线$MN$恒过定点$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，故$D$正确.

变式 1 (2025·石家庄二模)若圆 $ M : ( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y - m ) ^ { 2 } = 25 $ 被直线 $ 3 x - 4 y - 7 = 0 $ 所截得的弦长为 $ 10 $，过点 $ P ( - 7, 5 ) $ 作圆 $ M $ 的切线，其中一个切点为 $ A $，则 $ | P A | $ 的值为$5\sqrt{3}$.

答案：
变式1　$5\sqrt{3}$　[解析]由弦长为$10$，结合垂径定理可得$(\frac{|3 - 4m - 7|}{\sqrt{9 + 16}})^2 + (\frac{10}{2})^2 = 5^2$，解得$m = -1$(或由弦长为$10$知直线过圆心，则$3 - 4m - 7 = 0$，解得$m = -1$).如图，结合已知点$P(-7,5)$，可得$|PM| = \sqrt{(-7 - 1)^2 + (5 + 1)^2} = 10$，所以$|PA| = \sqrt{|PM|^2 - |AM|^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

例 2 (1)(2025·徐州 2 月调研)在平面直角坐标系 $ x O y $ 中，若圆 $ C _ { 1 } : ( x + 4 ) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } = r ^ { 2 } ( r ＞ 0 ) $ 上存在点 $ P $，且点 $ P $ 关于直线 $ y = x + 1 $ 的对称点 $ Q $ 在圆 $ C _ { 2 } : ( x - 4 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 $ 上，则 $ r $ 的取值范围是(B)
A.$ ( 3, 7 ) $
B.$ [ 3, 7 ] $
C.$ ( 3, + \infty ) $
D.$ [ 3, + \infty ) $

答案：

(1)B　[解析]圆$C_1:(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = r^2(r ＞ 0)$的圆心为$C_1(-4,1)$，设$C_1(-4,1)$关于直线$y = x + 1$的对称点为$C_3(a,b)$，所以$\begin{cases}\frac{1 + b}{2} = \frac{-4 + a}{2} + 1\frac{b - 1}{a + 4}×1 = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 0\\b = -3\end{cases}$，即$C_3(0,-3)$.由题意得，以$C_3$为圆心，$r$为半径的圆与圆$C_2$有公共点(如图)，所以$|r - 2| \leq |C_2C_3| \leq r + 2$，又$|C_2C_3| = 5$，解得$3 \leq r \leq 7$.

(2)(2025·佛山一模)在平面直角坐标系 $ x O y $ 中，满足不等式组 $ \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x \leq 1, } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 x \leq 1 } \end{array} \right. $ 的点 $ ( x, y ) $ 表示的区域面积为(D)
A.$ \frac { \pi } { 2 } - 1 $
B.$ \pi $
C.$ \pi - 1 $
D.$ \pi - 2 $

答案：

(2)D　[解析] $\begin{cases}x^2 + y^2 - 2x \leq 1\\x^2 + y^2 + 2x \leq 1\end{cases}$经整理得$\begin{cases}(x - 1)^2 + y^2 \leq 2\\(x + 1)^2 + y^2 \leq 2\end{cases}$，不等式组表示的区域是圆$C_1:(x - 1)^2 + y^2 = 2$与圆$C_2:(x + 1)^2 + y^2 = 2$的公共区域，画出图象如图中阴影部分所示，$C_1(1,0)$，$C_2(-1,0)$，两圆半径都是$\sqrt{2}$.设两个圆相交于$A$，$B$两点，则$A(0,1)$，$B(0,-1)$，因为$|AC_1|^2 + |AC_2|^2 = |C_1C_2|^2$，$AC_2 \perp AC_1$，所以$AC_2$是圆$C_1$的切线，$AC_1$是圆$C_2$的切线，同理$BC_2$是圆$C_1$的切线，$BC_1$是圆$C_2$的切线，$BC_2 \perp BC_1$，$|AC_1| = |AC_2| = |BC_1| = |BC_2| = \sqrt{2}$，所以四边形$AC_1BC_2$是正方形，所以阴影部分的面积为$\frac{1}{4}×\pi×(\sqrt{2})^2 - \frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2 = \pi - 2$.