《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

变式2 已知等比数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{6}=8a_{3}$，且$a_{2}+a_{5}=-9$，$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和。
（1）求$\{ a_{n}\}$的通项公式。
（2）$S_{m}$，$a_{7}$，$a_{i}(m,i\in N^{*})$能否构成等差数列？若能，则求出$m$，$i$的值；若不能，请说明理由。

答案： 变式2 【解答】
(1)设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，因为$a_6=8a_3$，所以$\frac {a_6}{a_3}=q^3=8$即$q=2$.又因为$a_2+a_5=-9$，所以$a_2+8a_2=-9$，即$a_2=-1$，所以$a_n=a_2q^{n-2}=-2^{n-2}$.
(2)假设$S_m,a_7,a_i$能构成等差数列，则$\frac {-\frac {1}{2}(1-2^m)}{1-2}-2^{i-2}=-2×2^5$，化简得$\frac {1}{2}-2^{m-1}-2^{i-2}=-2^6$，即$2^m-2^7+2^{i-1}=1$.又$m,i\in N^*$，所以等号右边为奇数，且$2^m-2^7$为偶数，所以$2^{i-1}$必为奇数，所以$i=1$，且$m=7$，此时$S_m+a_i=2a_7$，故$S_m,a_7,a_i$能构成等差数列，且$m=7,i=1$.

例3 下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行、每列都成等差数列，记第$i$行第$j$列的数为$a_{i,j}$，则$a_{7,8}=$57，表中的数$2026$共出现12次。

答案： 例3 57 12 【解析】根据题目所给表格规律，得到第$i$行中的数是以$i+1$为首项，$i$为公差的等差数列，所以$a_{i,j}=i+1+(j-1)i=ij+1$，所以$a_{7,8}=7×8+1=57$.由$a_{i,j}=2026$，得$ij=2025=1×2025=2025×1=5×405=405×5=25×81=81×25=27×75=75×27=225×9=9×225=675×3=3×675$.所以$2026$共出现$12$次.

变式3 (2025·濮阳一模)我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将$1\sim 9$九个数字填入一个$3× 3$的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同(如图)。已知数列$\{ a_{n}\} (n\in N^{*})$的通项公式为$a_{n}=2n+2$，现将该数列的前$16$项填入一个$4× 4$的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为(C)


A.60
B.72
C.76
D.80

答案： 变式3 C 【解析】由等差数列的性质得，四阶幻方所有数字之和为$\frac {(4+34)×16}{2}=38×8$.由于每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，所以每行的数字之和为$\frac {38×8}{4}=76$.