《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例4-1 (2025·徐州2月调研节选)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓后要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现三次音乐获得150分,出现两次音乐获得100分,出现一次音乐获得50分,没有出现音乐则获得$-300$分.设每次击鼓出现音乐的概率为$p(0 ＜ p ＜ \frac{2}{5})$,且各次击鼓是否出现音乐相互独立.
(1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为$f(p)$,求$f(p)$的最大值点$p_0$;
(2)以(1)中确定的$p_0$作为$p$的值,玩3盘游戏,出现音乐的盘数为随机变量$X$,求每盘游戏出现音乐的概率$p_1$及随机变量$X$的期望$E(X)$.

答案： 例4 - 1【解答】
(1)由题可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为$f(p) = C_{3}^{1}p(1 - p)^{2} = 3p^{3} - 6p^{2} + 3p$，则$f^{\prime}(p) = 3(3p - 1)(p - 1)$，$0 ＜ p ＜ \frac{2}{5}$，由$f^{\prime}(p) = 0$得$p = \frac{1}{3}$或$p = 1$(舍去)。当$p \in (0,\frac{1}{3})$时，$f^{\prime}(p) ＞ 0$；当$p \in (\frac{1}{3},\frac{2}{5})$时，$f^{\prime}(p) ＜ 0$，所以$f(p)$在$(0,\frac{1}{3})$上单调递增，在$(\frac{1}{3},\frac{2}{5})$上单调递减，所以当$p = \frac{1}{3}$时，$f(p)$有最大值，即$f(p)$的最大值点$p_0 = \frac{1}{3}$。
(2)由
(1)可知$p = p_0 = \frac{1}{3}$，则每盘游戏出现音乐的概率为$p_1 = 1 - (1 - \frac{1}{3})^{3} = \frac{19}{27}$。由题可知$X \sim B(3,\frac{19}{27})$，所以$E(X) = 3 × \frac{19}{27} = \frac{19}{9}$。