《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例 2 - 1 记$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，已知$S_{n}=\dfrac{a_{n}}{2}+n^{2}+1$，$n\in\mathbf{N}^{*}$.
（1）求$a_{1}+a_{2}$，并证明：$\{ a_{n}+a_{n + 1}\}$是等差数列；
（2）求$S_{n}$.

答案： 例2-1【解答】
(1)当$n = 1$时，$a_{1}=\frac{a_{1}}{2}+2$，可得$a_{1}=4$；当$n = 2$时，$a_{1}+a_{2}=\frac{a_{2}}{2}+1$，所以$a_{2}=2$.所以$a_{1}+a_{2}=6$.因为$S_{n}=\frac{a_{n}}{2}+n^{2}+1$①，所以$S_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{2}+(n + 1)^{2}+1$②.② - ①得$a_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{2}-\frac{a_{n}}{2}+(n + 1)^{2}-n^{2}$，整理得$a_{n}+a_{n+1}=4n + 2,n\in N^{*}$，所以$(a_{n+1}+a_{n+2})-(a_{n}+a_{n+1})=4(n + 1)+2]-(4n + 2)=4$(常数)，$n\in N^{*}$，所以$\{a_{n}+a_{n+1}\}$是首项为6，公差为4的等差数列.
(2)由
(1)知$a_{n-1}+a_{n}=4(n - 1)+2=4n - 2,n\in N^{*},n\geq 2$.当$n$为偶数时，$S_{n}=(a_{1}+a_{2})+(a_{3}+a_{4})+·s +(a_{n-1}+a_{n})=4+\frac{n}{2}× \frac{(6 + 4n - 2)}{2}=n^{2}+n$；当$n$为奇数时，$S_{n}=a_{1}+(a_{2}+a_{3})+·s +(a_{n-1}+a_{n})=4+\frac{n - 1}{2}× \frac{(10 + 4n - 2)}{2}=n^{2}+n + 2$.
综上所述，$S_{n}=\begin{cases} n^{2}+n,n为偶数,\\ n^{2}+n + 2,n为奇数.\end{cases}$

例 2 - 2 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n}· a_{n + 1}=4^{n}$，$n\in\mathbf{N}^{*}$.
（1）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）若$b_{n}=\begin{cases}\log_{2}a_{n},n为奇数,\\a_{n}+1,n为偶数,\end{cases}$求数列$\{ b_{n}\}$的前$2n$项和$S_{2n}$.

答案： 例2-2【解答】
(1)由题意，当$n = 1$时，$a_{2}=4$.因为$a_{n}· a_{n+1}=4^{n}$①，所以$a_{n+1}· a_{n+2}=4^{n+1}$②，可得$\frac{a_{n+2}}{a_{n}}=4$，所以数列$\{a_{n}\}$的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列.因为$a_{1}=1,a_{2}=4$，所以当$n$为奇数时，$a_{n}=a_{1}× 4^{\frac{n + 1}{2}-1}=2^{n - 1}$；当$n$为偶数时，$a_{n}=a_{2}× 4^{\frac{n}{2}-1}=2^{n}$.综上，$a_{n}=\begin{cases} 2^{n - 1},n为奇数,\\ 2^{n},n为偶数.\end{cases}$
(2)由
(1)得$b_{n}=\begin{cases} n - 1,n为奇数,\\ 2^{n}+1,n为偶数,\end{cases}$所以$S_{2n}=(b_{1}+b_{3}+·s +b_{2n-1})+(b_{2}+b_{4}+·s +b_{2n})=\frac{n(2n - 2)}{2}+\frac{[4(1 - 4^{n})]}{1 - 4}+n]=n^{2}+\frac{4^{n + 1}-4}{3}$.