《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

例1 (2025·辽宁省三模)甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为p(0 ＜ p ＜ 1)。从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为p²，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为1 - p。
(1)当p = $\frac{1}{2}$时，求甲第二局获胜的概率。
(2)设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为$\frac{1}{9}$。
①求p；
②记这场比赛需要进行的局数为X，求X的分布列与期望。

答案：

(1)设$A_i$=“甲第$i$局获胜”，其中$i=1,2,3$，依题意得$P(A_1)=p$，当$p=\frac{1}{2}$时，由全概率公式得$P(A_2)=P(A_1A_2)+P(\overline{A_1}A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1)+P(\overline{A_1})P(A_2|\overline{A_1})=p· p^2+(1-p)=\left(\frac{1}{2}\right)^3+\left(1-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{8}$，所以甲第二局获胜的概率为$\frac{3}{8}$。
(2)①甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为$(1-p)^2$，依题意
得$(1-p)^2=\frac{1}{9}$，解得$p=\frac{2}{3}$。
②$X$的可能取值为$2,3$，则$P(X=2)=P(A_1A_2)+P(\overline{A_1}\overline{A_2})=p· p^2+(1-p)p=\left(\frac{2}{3}\right)^3+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{14}{27}$，$P(X=3)=P(A_1\overline{A_2}A_3)+P(\overline{A_1}A_2\overline{A_3})+P(\overline{A_1}\overline{A_2}A_3)=p(1-p^2)(1-p)+(1-p)(1-p)p^2+p(1-p)(1-p^2)=1-p^3+p^2-p=1-\left(\frac{2}{3}\right)^3+\left(\frac{2}{3}\right)^2-\frac{2}{3}=\frac{13}{27}$（或$P(X=3)=1-P(X=2)=1-\frac{14}{27}=\frac{13}{27}$)，所以$X$的分布
列为

故$E(X)=2×\frac{14}{27}+3×\frac{13}{27}=\frac{67}{27}$。

例2 (2025·永州模拟节选)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道题目作答完毕后比赛结束。规定：对同一道题目，若两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得 - 10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题目的概率分别为$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{2}$。
(1)求比赛结束后甲获胜的概率；
(2)求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题目的概率。

答案：
(1)当甲、乙同时回答第$i(i=1,2,3)$道题时，甲得
分为$X_i$，则$P(X_i=10)=\frac{3}{5}×\frac{1}{2}=\frac{3}{10}$，$P(X_i=0)=\frac{3}{5}×\frac{1}{2}+\frac{2}{5}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，$P(X_i=-10)=\frac{2}{5}×\frac{1}{2}=\frac{1}{5}$。比赛结束甲获胜时
的得分$X$可能的取值为$10,20,30$，则$P(X=30)=\left(\frac{3}{10}\right)^3=\frac{27}{1000}$，$P(X=20)=C_3^1×\frac{1}{2}×\left(\frac{3}{10}\right)^2=\frac{27}{200}$，$P(X=10)=C_3^3×\frac{3}{10}×\left(\frac{1}{2}\right)+C_3^1×\frac{3}{10}×\left(\frac{3}{10}\right)^2=\frac{279}{1000}$，所以比赛结束后甲获胜
的概率$P=P(X=30)+P(X=20)+P(X=10)=\frac{27}{1000}+\frac{27}{200}+\frac{279}{1000}=\frac{441}{1000}$。
(2)设$A$=“比赛结束后甲获胜”，$B$=“比赛结束时乙恰好答对一
道题”，$P(AB)=\left(\frac{3}{10}\right)^3× C_3^1×\frac{1}{2}×\left(1-\frac{1}{2}\right)^2+C_3^3×\left(\frac{3}{5}\right)^2×\left(1-\frac{3}{5}\right)× C_3^1×\frac{1}{2}×\left(1-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{243}{1000}$，则$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{243}{1000}}{\frac{441}{1000}}=\frac{27}{49}$，所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好
回答对1道题目的概率为$\frac{27}{49}$。