《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

1. 已知变量 $ x $ 与 $ y $ 正相关，由观测数据算得样本平均数 $ \overline{x}=3 $，$ \overline{y}=3.5 $，则由该观测数据算得的经验回归方程可能是(A)

A.$ \hat{y}=0.4x + 2.3 $
B.$ \hat{y}=2x - 2.4 $
C.$ \hat{y}=-2x + 9.5 $
D.$ \hat{y}=-0.3x + 4.4 $

答案： 1.A

2. 根据如下样本数据得到的经验回归方程 $ \hat{y}=\hat{b}x + \hat{a} $ 中的 $ \hat{b}=-1.4 $，根据此方程预测当 $ x = 10 $ 时，$ y $ 的取值为(B)


A.-6.0
B.-6.1
C.-6.2
D.-6.4

答案： 2.B　[解析]根据图表数据得$\bar{x}=\frac{1}{7}×(3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)=6$，$\bar{y}=\frac{1}{7}×(4.0 + 2.5 + 0.5 - 1 - 2.0 - 3.0 - 4.5)= - 0.5$，把$(\bar{x},\bar{y})$代入经验回归方程$\hat{y} = - 1.4x+\hat{a}$，有$-0.5 = - 1.4×6+\hat{a}$，解得$\hat{a}=7.9$，所以$\hat{y} = - 1.4x + 7.9$。当$x = 10$时，$\hat{y} = - 1.4×10 + 7.9 = - 6.1$。

3. (人 A 选必三 P103 练习 4)随机抽取 7 家超市，得到其广告支出与销售额数据如下：

则由样本数据可求出超市的销售额与广告支出之间的样本相关系数为0.83(保留两位有效数字)。

答案：
3.0.83　[解析]成对数据的散点图如图所示。从散点图可以看出，超市的销售额与广告支出之间呈现出线性相关关系，由数据可得$\bar{x}=\frac{1}{7}×(1 + 2 + 4 + 6 + 10 + 14 + 20)=\frac{57}{7}$，$\bar{y}=\frac{1}{7}×(19 + 32 + 44 + 40 + 52 + 53 + 54)=42$，$\sum_{i = 1}^{7}x_iy_i = 2841$，$\sum_{i = 1}^{7}x_i^2 = 753$，$\sum_{i = 1}^{7}y_i^2 = 13350$，所以$r=\frac{\sum_{i = 1}^{7}x_iy_i - 7\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{7}x_i^2 - 7\bar{x}^2}\sqrt{\sum_{i = 1}^{7}y_i^2 - 7\bar{y}^2}}=\frac{447}{\sqrt{\frac{2022}{7}}×\sqrt{1002}}\approx0.83$。

4. （人 A 选必三 P134 练习 3）为考察某种药物 A 对预防疾病 B 的效果，进行了动物试验，根据 105 个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：
单位：只

依据 $ \alpha = 0.05 $ 的独立性检验，分析药物 A 对预防疾病 B 的有效性。

答案： 4.[解答]零假设为$H_0$：药物A对预防疾病B没有效果。根据列联表中数据，可得$\chi^2=\frac{105×(29×14 - 15×47)^2}{44×61×76×29}\approx1.587＜3.841$，根据小概率值$\alpha = 0.05$的独立性检验，没有充分证据推断$H_0$不成立，因此可认为$H_0$成立，即认为药物A对预防疾病B 没有效果。