《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

1. 从一批产品中取出三件产品，设$A =$“三件产品全不是次品”，$B =$“三件产品全是次品”，$C =$“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论错误的是(D)

A.$A$与$C$互斥
B.$B$与$C$互斥
C.任何两个都互斥
D.任何两个都不互斥

答案： 1.D【解析】因为A为“三产品全不是次品”，指的是三件产品都是正品，B为“三件产品全是次品”，所以A与B互斥.C为“三件产品有次品”，但不全是次品，它包括一件次品和两件次品两种情况，由此知，A与C是互斥事件，B与C是互斥事件.

2. (人$A$必二$P253$练习$3$改编)天气预报报道：元旦假期甲地的降雨概率是$0.2$，乙地的降雨概率是$0.3$.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(C)

A.$0.2$
B.$0.3$
C.$0.38$
D.$0.56$

答案： 2.C【解析】设事件A=“甲地降雨”，事件B=“乙地降雨”，则两地恰有一地降雨为$A\overline{B}+\overline{A}B$，所以$P(A\overline{B}+\overline{A}B)=P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)=P(A)P(\overline{B})+P(\overline{A})P(B)=0.2×0.7+0.8×0.3=0.38$.

3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件甲$=$“第一次骰子正面向上的数字是$2$”，事件乙$=$“两次骰子正面向上的数字之和是$5$”，事件丙$=$“两次骰子正面向上的数字之和是$7$”，则(D)

A.甲、乙互斥
B.乙、丙互为对立事件
C.甲、乙相互独立
D.甲、丙相互独立

答案： 3.D【解析】由题意可知，抛掷一枚骰子两次出现点数的所有可能情况有36种，事件甲包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，则$P_1=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$；事件乙包含的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则$P_2=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$；事件丙包含的基本事件有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，则$P_3=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.对于A，甲、乙有可能同时发生，不是互斥事件，A错误；对于B，除乙、丙外还有其他事件发生，不是对立事件，B错误；对于C，甲、乙同时发生的概率为$P_4=\frac{1}{36}\neq P_1P_2$，C错误；对于D，甲、丙同时发生的概率为$P_5=\frac{1}{36}=P_1P_3$，D正确.

4. (人$A$选必三$P48$练习$3$改编)已知盒中装有$3$个红球，$2$个白球，$5$个黑球，它们的大小、形状完全相同，现需一个红球，某人每次从中任取一个不放回，则他在第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为$\frac{1}{3}$.

答案： 4.$\frac{1}{3}$【解析】设A=“此人第一次拿到白球”，B=“此人第二次拿到红球”，则$P(AB)=\frac{A_{2}^{1}A_{9}^{1}}{A_{10}^{2}}=\frac{1}{15}$，$P(A)=\frac{A_{2}^{2}}{A_{10}^{2}}=\frac{1}{5}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1}{3}$.

5. 现有$8$道四选一的单选题，小明同学对其中$6$道题有思路，$2$道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为$0.9$，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率只有$0.25$，小明同学从这$8$道题中随机选择$1$题，则小明做对该题的概率为0.7375.

答案： 5.0.7375【解析】设事件A=“小明答对”，事件B=“小明选到有思路的题”，则小明从这8道题中随机选1题，且答对该题的概率为$P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=0.75×0.9+0.25×0.25=0.7375$.