《2026年南方凤凰台5A新考案高中数学二轮基础版》

变式2 甲、乙两支足球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军。现假定甲队在主场获胜的概率为p，平局的概率为$\frac{p}{2}$，其中0 ＜ p ＜ 1；甲队在客场获胜和平局的概率均为$\frac{p}{2}$；点球大战甲队获胜的概率为p，且不同对阵的结果互不影响。
(1)若甲队先主场后客场，且p = $\frac{1}{2}$。
①求甲队通过点球大战获得冠军的概率；
②求甲队获得冠军的概率。
(2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军。假定甲队在第三方场地获胜的概率为p²，平局的概率为$\frac{p}{2}$，点球大战甲队获胜的概率为p。问：哪种赛制更有利于甲队夺冠？

答案：
(1)①记“甲队通过点球大战获得冠军”为事件
$A$，此事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获
胜，故$P(A)=\left[p(1-p)+\left(1-\frac{3}{2}p\right)·\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}p·\frac{1}{2}p\right]$.
$p=\frac{3}{2}p^2(1-p)$。因为$p=\frac{1}{2}$，所以$P(A)=\frac{3}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{16}$，
所以甲队通过点球大战获得冠军的概率为$\frac{3}{16}$。
②记“甲队获得冠军”为事件$B$，事件$B$包含甲队点球获胜、主胜
客胜、主胜客平、主平客胜，所以$P(B)=\frac{3}{2}p^2(1-p)+p·\frac{1}{2}p+p·\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}p·\frac{1}{2}p=\frac{11}{4}p^2-\frac{3}{2}p^3$，因为$p=\frac{1}{2}$，所以
$P(B)=\frac{11}{4}×\frac{1}{4}-\frac{3}{2}×\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$，所以甲队获得冠
军的概率为$\frac{1}{2}$。
(2)由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件$C$，事件
$C$包含甲队胜、甲队平同时点球胜，所以$P(C)=p^2+\frac{1}{2}p· p=\frac{3}{2}p^2$。因为$0＜p+\frac{1}{2}p＜1$，所以$0＜p＜\frac{2}{3}$，此时$0＜p^2+\frac{1}{2}p＜\frac{7}{9}$
满足题意.$P(B)-P(C)=\frac{11}{4}p^2-\frac{3}{2}p^3=\frac{5}{4}p^2-\frac{3}{2}p^3=\frac{5}{4}p^2\left(5-6p\right)$，因为$0＜p＜\frac{2}{3}$，所以$\frac{1}{4}p^2＞0,5-6p＞0$，
所以$P(B)-P(C)＞0$，故“主客场比赛制”比“单场比赛制”更有
利于甲队夺冠。

例3 (2025·南京盐城一模)甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分n(n ∈ N*，n ≥ 2)关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功时，挑战比赛结束。若甲每一关挑战成功的概率均为p(0 ＜ p ＜ 1)，乙每一关挑战成功的概率均为q(0 ＜ q ＜ 1)，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响。
(1)已知甲先上场，p = $\frac{1}{2}$，q = $\frac{1}{3}$，n = 2。
①求挑战没有一关成功的概率；
②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求E(X)。
(2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功。试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由。

答案：
(1)①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为
$P$，则$P=(1-p)(1-q)=\frac{1}{3}$。
②依题可知，$X$的可能取值为$0,1,2$，则$P(X=0)=\frac{1}{3}$，$P(X=1)=p(1-p)(1-q)+(1-p)q(1-q)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\left(1-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{5}{18}$，$P(X=2)=1-\frac{1}{3}-\frac{5}{18}=\frac{7}{18}$，所以
$E(X)=0×\frac{1}{3}+1×\frac{5}{18}+2×\frac{7}{18}=\frac{19}{18}$。
(2)设甲先出场比赛挑战成功的概率为$P_1$，乙先出场比赛挑战成
功的概率为$P_2$，则$P_1=p^n+p^{n-1}(1-p)q+p^{n-2}(1-p)q^2+·s+(1-p)q^{n-1}=(p^n+p^{n-1}q+p^{n-2}q^2+·s+q^n)-(p^nq+p^{n-1}q^2+p^{n-2}q^3+·s+pq^n)$；$P_2=q^n+q^{n-1}(1-q)p+q^{n-2}(1-q)^2p^2+·s+(1-q)^{n-1}p^{n-1}=(q^n+q^{n-1}p+q^{n-2}p^2+·s+p^n)-(q^np+q^{n-1}p^2+(1-q)p^3+·s+qp^n)$。由$p^n+p^{n-1}q+p^{n-2}q^2+·s+q^n=q^n+q^{n-1}p+q^{n-2}p^2+·s+p^n$，$p^nq+p^{n-1}q^2+·s+p^2q^{n-2}+·s+pq^n=q^np+q^{n-1}p^2+q^{n-2}p^3+·s+qp^n$，可得$P_1=P_2$。因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同。